Прогрессивные авиалинии
Дмитрий – крупный предприниматель. Недавно он для своей девушки решил создать авиакомпанию «Прогрессивные авиалинии», но, к сожалению, у Дмитрия на данный момент хватает денег только на один самолет, а именно 1 миллиард рублей. К нему на помощь пришел его друг Александр, тоже крупный предприниматель, и предложил давать ему деньги в долг по такой схеме:
Каждый нечетный год Александр дает Дмитрию деньги на один самолет (только один, т.к Александр очень обеспокоен возвратом своих средств) с последующим возвратом средств в следующем году. Дмитрий может обращаться к Александру сколько угодно раз.
Проблема заключается в том, что самолеты дорожают каждый год на 10\% (только самолеты), Дмитрий также вынужден отдавать долг за самолет по его цене в данном периоде, а не ту сумму, которую брал в долг. Процентная ставка в стране составляет 100\%.
а) Найдите сумму, которую в итоге отдадут Александру, если девушка Дмитрия хочет, чтобы в авиакомпании было 10 самолетов?
Если вы верно решили предыдущий пункт, то могли заметить, что Дмитрий вернет Александру сумму намного меньшую, чем ту, которую занимал у него. Допустим Александр поссорился из-за этого с Дмитрием и решил нанять коллекторов, чтобы вернуть всю сумму S долга за один раз (не дисконтированную).
б) Найдите максимальную сумму S, которую готов заплатить Александр коллекторам, если Александр занимал у него деньги на n самолетов, и изобразите примерный график максимальной суммы в зависимости от n т. е S_{(n)} ?
Допустим Дмитрий решил помириться с Александром (наверное испугался коллекторов), Александр простил Дмитрия т.к он пообещал выплатить всю сумму долга сразу. Придя домой, Дмитрий решил подумать о том, что ему надо было сдавать каждый новый самолет в аренду на один период (при этом он все равно числился бы в авиакомпании), тогда бы долг не накапливался каждый следующий период, т.к он гасил бы его доходом с аренды.
в) Найдите, во сколько раз должна была расти сумма арендной платы, если бы Дмитрий сдавал в аренду самолеты с самого начала? (считайте, что он сдает самолеты, купленные только на занятые деньги)
а) Одним из способов решения является решение в общем виде, с помощью него мы сможем быстро решить первые два пункта. Запишем отдельно суммы, которые Дмитрий будет брать в долг, и те, которые будет возвращать. Т.к Дмитрий берет деньги в долг каждый нечетный год, следовательно его долг за n периодов (где n - четное число т.к возврат средств осуществляется в четном периоде) равен
\frac{1,1}{2} + \frac{1,1^3}{2^3} + \frac{1,1^5}{2^5} + \dots + \frac{1,1^{n-1}}{2^{n-1}} = \frac{\frac{1,1}{2} \left(1 - \left(\frac{1,1^2}{2^2}\right)^{0,5n} \right)}{1 - \frac{1,1^2}{2^2}}
Тогда сумма, которую он будет возвращать равна:
\frac{1,1^2}{2^2} + \frac{1,1^4}{2^4} + \frac{1,1^6}{2^6} + \dots + \frac{1,1^n}{2^n} = \frac{\frac{1,1^2}{2^2} \left(1 - \left(\frac{1,1^2}{2^2}\right)^{0,5n} \right)}{1 - \frac{1,1^2}{2^2}}
Данные суммы можно свернуть по формуле суммы геометрической прогрессии:
Взял в долг \frac{11 \times 20^{n+1} - 20 \times 11^{n+1}}{279 \times 20^n}
Вернул \frac{121 \times 400^{0,5n+1} - 400 \times 121^{0,5n+1}}{279 \times 400^{0,5n+1}}
Заметим, что если нам нужно 10 самолетов, то занимаем деньги мы только на 9 самолетов, т.к на один самолет у нас есть деньги. Если мы занимаем деньги на 9 самолетов, то мы занимаем их в 1, 3, 5, 7...17 периодах, следовательно последний платеж Александру придет в 18 -м периоде, тогда n=18 и подставив данное n во второе уравнение мы получим ответ на первый пункт:
\frac{121 \times 400^{9+1} - 400 \times 121^{9+1}}{279 \times 400^{9+1}} \approx 0.43
б) Заметим, что максимальная сумма, которую Александр будет готов заплатить коллекторам, будет равна сумме, которую он давал в долг, за вычетом суммы, которую он получил с Дмитрия:
S(n) = \frac{11 \times 20^{n+1} - 20 \times 11^{n+1}}{279 \times 20^n} - \frac{121 \times 400^{0.5n+1} - 400 \times 121^{0.5n+1}}{279 \times 400^{0.5n+1}} =
= \frac{11 \times 20^{2n+3} - 20^{n+3} \times 11^{n+1} - 121 \times 20^{2n+2} + 20^{n+2} \times 121^{0,5n+1}}{279 \times 20^{2n+2}}
График
в) Найдем сумму долга, которая остается после второго периода, т. е после нашей первой выплаты:
\frac{1{,}1}{2} - \frac{1{,}1^2}{2^2} = \frac{1{,}1(2 - 1{,}1)}{2^2}
она равна сумме, которую мы заняли, за вычетом суммы, которую мы выплатили. Аналогично проделывая в остальных периодах, можно заметить, что долг с каждым разом увеличивается в определенное число раз
\frac{1{,}1(2 - 1{,}1)}{2^2} + \frac{1{,}1^3(2 - 1{,}1)}{2^4} + \frac{1{,}1^5(2 - 1{,}1)}{2^6} + \dots + \frac{1{,}1^{n-1}(2 - 1{,}1)}{2^n}
долг после 1 -го долг после 2 -го долг после 3 -го долг после n -го
По формуле знаменателя геометрической прогрессии найдем, что долг в каждом периоде растет в \frac{1{,}1^2}{2^2} раз. Так как сумма арендной платы должна в каждом периоде полностью покрывать накопившийся долг, следовательно арендная плата должна расти с таким же темпом как и долг, т. е в \frac{1{,}1^2}{2^2} раза.