а) Одним из способов решения является решение в общем виде, с помощью него мы сможем быстро решить первые два пункта. Запишем отдельно суммы, которые Дмитрий будет брать в долг, и те, которые будет возвращать. Т.к Дмитрий берет деньги в долг каждый нечетный год, следовательно его долг за n периодов (где n - четное число т.к возврат средств осуществляется в четном периоде) равен

\frac{1,1}{2} + \frac{1,1^3}{2^3} + \frac{1,1^5}{2^5} + \dots + \frac{1,1^{n-1}}{2^{n-1}} = \frac{\frac{1,1}{2} \left(1 - \left(\frac{1,1^2}{2^2}\right)^{0,5n} \right)}{1 - \frac{1,1^2}{2^2}}

Тогда сумма, которую он будет возвращать равна:

\frac{1,1^2}{2^2} + \frac{1,1^4}{2^4} + \frac{1,1^6}{2^6} + \dots + \frac{1,1^n}{2^n} = \frac{\frac{1,1^2}{2^2} \left(1 - \left(\frac{1,1^2}{2^2}\right)^{0,5n} \right)}{1 - \frac{1,1^2}{2^2}}

Данные суммы можно свернуть по формуле суммы геометрической прогрессии:

Взял в долг \frac{11 \times 20^{n+1} - 20 \times 11^{n+1}}{279 \times 20^n}

Вернул \frac{121 \times 400^{0,5n+1} - 400 \times 121^{0,5n+1}}{279 \times 400^{0,5n+1}}

Заметим, что если нам нужно 10 самолетов, то занимаем деньги мы только на 9 самолетов, т.к на один самолет у нас есть деньги. Если мы занимаем деньги на 9 самолетов, то мы занимаем их в 1, 3, 5, 7...17 периодах, следовательно последний платеж Александру придет в 18 -м периоде, тогда n=18 и подставив данное n во второе уравнение мы получим ответ на первый пункт:

\frac{121 \times 400^{9+1} - 400 \times 121^{9+1}}{279 \times 400^{9+1}} \approx 0.43

б) Заметим, что максимальная сумма, которую Александр будет готов заплатить коллекторам, будет равна сумме, которую он давал в долг, за вычетом суммы, которую он получил с Дмитрия:

S(n) = \frac{11 \times 20^{n+1} - 20 \times 11^{n+1}}{279 \times 20^n} - \frac{121 \times 400^{0.5n+1} - 400 \times 121^{0.5n+1}}{279 \times 400^{0.5n+1}} =

= \frac{11 \times 20^{2n+3} - 20^{n+3} \times 11^{n+1} - 121 \times 20^{2n+2} + 20^{n+2} \times 121^{0,5n+1}}{279 \times 20^{2n+2}}

График

в) Найдем сумму долга, которая остается после второго периода, т. е после нашей первой выплаты:

\frac{1{,}1}{2} - \frac{1{,}1^2}{2^2} = \frac{1{,}1(2 - 1{,}1)}{2^2}

она равна сумме, которую мы заняли, за вычетом суммы, которую мы выплатили. Аналогично проделывая в остальных периодах, можно заметить, что долг с каждым разом увеличивается в определенное число раз

\frac{1{,}1(2 - 1{,}1)}{2^2} + \frac{1{,}1^3(2 - 1{,}1)}{2^4} + \frac{1{,}1^5(2 - 1{,}1)}{2^6} + \dots + \frac{1{,}1^{n-1}(2 - 1{,}1)}{2^n}

долг после 1 -го долг после 2 -го долг после 3 -го долг после n -го

По формуле знаменателя геометрической прогрессии найдем, что долг в каждом периоде растет в \frac{1{,}1^2}{2^2} раз. Так как сумма арендной платы должна в каждом периоде полностью покрывать накопившийся долг, следовательно арендная плата должна расти с таким же темпом как и долг, т. е в \frac{1{,}1^2}{2^2} раза.