Прогрессивные авиалинии
Дмитрий – крупный предприниматель. Недавно он для своей девушки решил создать авиакомпанию «Прогрессивные авиалинии», но, к сожалению, у Дмитрия на данный момент хватает денег только на один самолет, а именно миллиард рублей. К нему на помощь пришел его друг Александр, тоже крупный предприниматель, и предложил давать ему деньги в долг по такой схеме:
Каждый нечетный год Александр дает Дмитрию деньги на один самолет (только один, т.к Александр очень обеспокоен возвратом своих средств) с последующим возвратом средств в следующем году. Дмитрий может обращаться к Александру сколько угодно раз.
Проблема заключается в том, что самолеты дорожают каждый год на (только самолеты), Дмитрий также вынужден отдавать долг за самолет по его цене в данном периоде, а не ту сумму, которую брал в долг. Процентная ставка в стране составляет .
а) Найдите сумму, которую в итоге отдадут Александру, если девушка Дмитрия хочет, чтобы в авиакомпании было самолетов?
Если вы верно решили предыдущий пункт, то могли заметить, что Дмитрий вернет Александру сумму намного меньшую, чем ту, которую занимал у него. Допустим Александр поссорился из-за этого с Дмитрием и решил нанять коллекторов, чтобы вернуть всю сумму долга за один раз (не дисконтированную).
б) Найдите максимальную сумму , которую готов заплатить Александр коллекторам, если Александр занимал у него деньги на самолетов, и изобразите примерный график максимальной суммы в зависимости от т. е ?
Допустим Дмитрий решил помириться с Александром (наверное испугался коллекторов), Александр простил Дмитрия т.к он пообещал выплатить всю сумму долга сразу. Придя домой, Дмитрий решил подумать о том, что ему надо было сдавать каждый новый самолет в аренду на один период (при этом он все равно числился бы в авиакомпании), тогда бы долг не накапливался каждый следующий период, т.к он гасил бы его доходом с аренды.
в) Найдите, во сколько раз должна была расти сумма арендной платы, если бы Дмитрий сдавал в аренду самолеты с самого начала? (считайте, что он сдает самолеты, купленные только на занятые деньги)
Ответ
а) Одним из способов решения является решение в общем виде, с помощью него мы сможем быстро решить первые два пункта. Запишем отдельно суммы, которые Дмитрий будет брать в долг, и те, которые будет возвращать. Т.к Дмитрий берет деньги в долг каждый нечетный год, следовательно его долг за периодов (где - четное число т.к возврат средств осуществляется в четном периоде) равен
Тогда сумма, которую он будет возвращать равна:
Данные суммы можно свернуть по формуле суммы геометрической прогрессии:
Взял в долг
Вернул
Заметим, что если нам нужно самолетов, то занимаем деньги мы только на самолетов, т.к на один самолет у нас есть деньги. Если мы занимаем деньги на самолетов, то мы занимаем их в периодах, следовательно последний платеж Александру придет в -м периоде, тогда и подставив данное во второе уравнение мы получим ответ на первый пункт:
б) Заметим, что максимальная сумма, которую Александр будет готов заплатить коллекторам, будет равна сумме, которую он давал в долг, за вычетом суммы, которую он получил с Дмитрия:
$S(n) = \frac{11 \times 20^{n+1} - 20 \times 11^{n+1}}{279 \times 20^n} - \frac{121 \times 400^{0.5n+1} - 400 \times 121^{0.5n+1}}{279 \times 400^{0.5n+1}} =$
$= \frac{11 \times 20^{2n+3} - 20^{n+3} \times 11^{n+1} - 121 \times 20^{2n+2} + 20^{n+2} \times 121^{0,5n+1}}{279 \times 20^{2n+2}}$
График
в) Найдем сумму долга, которая остается после второго периода, т. е после нашей первой выплаты:
она равна сумме, которую мы заняли, за вычетом суммы, которую мы выплатили. Аналогично проделывая в остальных периодах, можно заметить, что долг с каждым разом увеличивается в определенное число раз
$\frac{1{,}1(2 - 1{,}1)}{2^2} + \frac{1{,}1^3(2 - 1{,}1)}{2^4} + \frac{1{,}1^5(2 - 1{,}1)}{2^6} + \dots + \frac{1{,}1^{n-1}(2 - 1{,}1)}{2^n}$
долг после -го долг после -го долг после -го долг после -го
По формуле знаменателя геометрической прогрессии найдем, что долг в каждом периоде растет в раз. Так как сумма арендной платы должна в каждом периоде полностью покрывать накопившийся долг, следовательно арендная плата должна расти с таким же темпом как и долг, т. е в раза.