1) Прибыль фирмы: \pi = PQ - wL - rK \rightarrow \text{max}

\frac{\partial \pi}{\partial L} = P^*Q'_L - w = 0

\frac{\partial \pi}{\partial K} = P^*Q'_K - r = 0

Отсюда получаем:

Q'_L = \frac{w}{P}, \quad Q'_K = \frac{r}{P}

Домножим обе части первого уравнения на L/Q, а обе части второго на K/Q. Получаем:

Q'_L \frac{L}{Q} = \frac{wL}{PQ}, \quad Q'_K \frac{K}{Q} = \frac{rK}{PQ}

В левых частях уравнений мы получили ни что иное, как эластичности выпуска по труду и капиталу соответственно, т.е.:

E_Q^L = \frac{wL}{PQ}, \quad E_Q^K = \frac{rK}{PQ}

Сложим эти два уравнения:

E_Q^L + E_Q^K = \frac{(wL + rK)}{PQ} = TC / TR = 1, так как в долгосрочном периоде конкурентная фирма получает нулевую прибыль.

2) Решаем аналогично, только теперь цена на продукцию фирмы является функцией от ее выпуска.

Прибыль фирмы: \pi = PQ - wL - rK \rightarrow \text{max}

\pi ' _L = P' Q^* Q'_L + P^* Q'_L - w = 0

\pi ' _K = P' Q^* Q'_K + P^* Q'_K - r = 0

Q'_L = \frac{w}{(P' Q^* Q + P)}

Q'_K = \frac{r}{(P' Q^* Q + P)}

Преобразуем правые части выражений:

Q'_L = \frac{w}{(P' Q^* Q P / P + P)} = \frac{w}{(E_P Q^* P + P)} = \frac{w}{(P^*(1 + 1 / E_Q^P))}

Q'_K = \frac{r}{(P' Q^* Q P / P + P)} = \frac{r}{(E_P Q^* P + P)} = \frac{r}{(P^*(1 + 1 / E_Q^P))}

Как и в первом пункте задачи, домножим обе части первого уравнения на L/Q, а обе части второго на K/Q. Получаем:

Q'_L \cdot \frac{L}{Q} = \frac{wL}{(P^* Q^* (1 + 1 / E_Q^P))}

Q'_K \cdot \frac{K}{Q} = \frac{rK}{(P^* Q^* (1 + 1 / E_Q^P))}

Складываем эти уравнения, заменив левые части на соответствующие эластичности:

E_Q^L + E_Q^K = \frac{(wL + rK)}{(P^* Q^* (1 + 1 / E_Q^P))} = \frac{TC}{(TR * (1 + 1 / E_Q^P))}

Рентабельность равна 33,(3)%, т.е. \( \pi / TC = 1 / 3 \) т.е. (TC + \pi) / TC = TR / TC = 4 / 3, \ \text{откуда} \ TC / TR = 3 / 4

Эластичность спроса по цене равна -2, поэтому ( 1 + 1 / E_Q^P = 1 - 1/2 = 1/2 )

Таким образом, E_Q^L + E_Q^K = 0.75 / 0.5 = 1.5