a) При K=4 производственная функция фирмы принимает вид

Q(L, 4) = \min \{ L^2, 4 \} = \begin{cases} L^2, \quad L \leq 2, \\ 4, \quad L > 2. \end{cases}

Составим функцию прибыли фирмы \pi(L). Фирма выбирает объем труда, так чтобы её прибыль была максимальной.

\pi(L) = TR - TC = P \cdot Q - wL = 1 \cdot \begin{cases} L^2 - wL, & L \leq 2, \\ 4 - wL, & L > 2. \end{cases}

Мы не включили в прибыль расходы на капитал, потому что они уже понесены. Функция L^2 - wL является квадратичной, ветви параболы направлены **вверх** (Это Парабола с Ветвями Вверх, ЭПВВВ). Парабола с ветвями вверх максимальна на отрезке [0; 2] обязательно либо в левом, либо в правом конце отрезка. Функция 4 - wL же убывает, поэтому значения L > 2 точно не оптимальны.

*Также можно это утверждение обосновать с помощью производной. (L^2 - wL)' = 2L - w. Первая производная возрастает, поэтому функция L^2 - wL не может иметь максимум внутри отрезка. Возрастание первой производной можно обосновывать через вторую: (L^2 - wL)'' = 2, что тоже не оптимально.*

Таким образом, максимум функции прибыли может достигаться либо при L=0, либо при L=2, поэтому нам достаточно сравнить прибыли в этих точках. При L=0 прибыль равна 0, а при L=2 прибыль равна 4 - 2w. Сравнив значения прибыли, получаем, что при w \leq 2 оптимально выбирать L=2, а при w > 2 оптимально выбирать L=0. Искомая функция спроса на труд имеет вид:

L_d(w) = \begin{cases} 2, & w \leq 2; \\ 0, & w > 2. \end{cases}

Примечание (не является частью решения): Поскольку у нас парабола с ветвями вверх, в вершине параболы L = w/2 в данном случае достигается не максимум прибыли, а ее минимум, поэтому вершина нам заведомо не интересна, и ее можно не находить. Кроме того, ответ L = w/2 явно противоречит экономическому смыслу, так как спрос на труд в этом случае возрастает по зарплате. Также неверный ответ можно было бы получить, воспользовавшись стандартным условием MRPL = w.

b) Фирма готова платить сумму S за аренду 5 единиц капитала тогда и только тогда, когда ее прибыль от этого не уменьшается.

1. Если фирма не арендует 5 единиц капитала, ее прибыль равна максимальной прибыли из пункта а). Она равна:

\pi_1^* = \begin{cases} 4 - 2w, & w \leq 2; \\ 0, & w > 2. \end{cases}

2. Если фирма арендует 5 единиц капитала, ее максимальную прибыль можно найти так же, как в пункте а), только не для K = 4, а для K = 4 + 5 = 9. Также нужно вычесть из прибыли S.

При K=9 функция прибыли фирмы примет вид:

\pi(L) = \begin{cases} L^2 - wL - S, & L \leq 3; \\ 9 - wL - S, & L > 3. \end{cases}

Фирма максимизирует ее по L. Аналогично пункту а), максимум достигается либо при L=0, где прибыль равна -S, либо при L=3, где прибыль равна 9 - 3w - S. Получаем, что при w \leq 3 оптимальным является L=3, при w > 3 оптимальным является L=0. Значит, максимальная прибыль равна:

\pi_2^* = \begin{cases} 9 - 3w - S, & w \leq 3; \\ -S, & w > 3. \end{cases}

S_{\text{max}}(w) — это максимальное значение S, при котором \pi_2^* \geq \pi_1^*. Значит:

- При w \leq 2 S_{\text{max}}(w) = 9 - 3w - 4 + 2w = 5 - w.

- При 2 < w \leq 3 S_{\text{max}}(w) = 9 - 3w = 0.

- При w > 3 S_{\text{max}}(w) = 0 - 0 = 0.

Таким образом,

S_{\text{max}}(w) = \begin{cases} 5 - w, & 0 < w \leq 2; \\ 9 - 3w, & 2 < w \leq 3; \\ 0, & w > 3. \end{cases}

График этой функции имеет вид:

\begin{cases} 5 - w, & 0 < w \leq 2; \\ 9 - 3w, & 2 < w \leq 3; \\ 0, & w > 3. \end{cases}

в) 1) "убывает", 2) "комплементами".

Пояснение (от участника оно не требуется): S_{\text{max}}(w) является готовностью платить за капитал, то есть величиной, характеризующей спрос на капитал. Получаем, что на качественном уровне спрос на капитал убывает по цене труда (зарплате). Когда спрос на одно благо убывает по цене другого, блага являются дополняющими (комплементами).