МЭ 2018 9 задача 11
У Петра есть рублёвые сбережения. Петр хочет положить их на один из следующих вкладов:
- рублёвый вклад со ставкой 10 % годовых;
- долларовый вклад со ставкой 2 % годовых.
Проценты начисляются один раз в конце года. Пётр предполагает, что к концу года курс доллара к рублю (цена 1 доллара в руб.) вырастет на 5 руб. Чтобы положить деньги на второй вклад, Пётр должен сначала купить доллары, положить их на вклад, а через год снять их и обменять на рубли. Какое максимальное значение должен иметь курс доллара в начале года, чтобы рублёвый вклад был выгоднее? В ответ укажите только число рублей за доллар
Ответ
Ответ: 63,75 руб.
Решение: Пусть сумма вклада равна x. Если Пётр положит деньги на первый вклад, то в конце года у него будет 1,1x рублей. Пусть обменный курс в начале года составляет e руб. за доллар. Тогда Пётр может купить x / e долл., и через год, если он положит доллары на второй вклад, у него будет 1,02x / e долл. в конце года, которые он обменяет на 1,02x (e+5)/e руб.
Решим неравенство: 1,1x 1,02x (e + 5) / e ;
1,1 / 1,02 1 + 5 / e ;
1,1 / 1,02 − 1 5 / e ;
e 5 / ((1,1/1,02) − 1) = 63,75.
Таким образом, это и есть максимальный курс доллара, при котором первый вариант вклада будет более доходным.
Допущена математическая ошибка при решении неравенства:
1,1x 1,02x (e + 5) / e
Верным является следующее ограничение на курс (цена одного доллара в рублях):
e 63,75
Следует засчитывать ответы:
-
сколь угодно большое значение курса (или аналогичные)
-
e 63,75
-
максимальное значение не достигается (или максимального значения нет)