Дилемма обучения
У выпускника Вани наступил важный период в жизни, ему предстоит выбрать своё дальнейшее будущее. К сожалению Иван не очень хорошо учился в школе, поэтому не
сможет пройти на бюджет в желаемый ВУЗ. У Ивана есть 2 варианта:
1. Не продолжать обучение и сразу пойти работать. В таком случае Иван будет за каждый год работы получит зарплату w.
2. Пойти в университет на целевое обучение. Тогда 4 года обучения Иван не будет получать зарплату, но и за учебу платить не придется. В первые 3 года после выпуска
(5,6 и 7 период) Ивану придется отработать свое обучение у заказчика с ежегодной зарплатой t. После этого Иван сможет уйти на более высокооплачиваемую работу с годовой зарплатой W.
Иван обратился за помощью к вам, как к хорошему экономисту. Он хочет оценить какой вариант окажется выгоднее на дистанции в 10 лет от сегодняшнего дня. Ставку дисконтирования считайте постоянной и равной r=1 (деньги через год обесцениваются в 1+r раз по отношению к сегодняшнему дню).
a) Не проводя количественных расчётов, поясните при каких значения ставки r (больших или маленьких) Ивану выгоднее пользоваться первым вариантом.
Выгоднее первый вариант, когда деньги сейчас дороже денег потом, то есть при высокой ставке r (когда будущая зарплата W обесценивается).
b) Получите выражения на W, при которых Иван безразличен между первым и вторым вариантом. Ваш ответ может зависеть только от w,t.
Указание. Чтобы получить полный балл, воспользуйтесь формулой геометрической прогрессии b + bq + bq^2 + \dots + bq^n = b \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}
Пусть t \in \{1; 10\} , где (1) - первый год возможного обучения.
1 вариант:
\sum_1 = w + \frac{w}{1 + r} + \frac{w}{(1 + r)^2} + \frac{w}{(1 + r)^3} + \dots + \frac{w}{(1 + r)^g} = w + \frac{w}{2} + \frac{w}{4} + \frac{w}{8} + \dots + \frac{w}{512}.
из формулы: b = w; \, q = \frac{1}{2}; \, n = 9 \implies \sum_{i=1}^{n} w \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{w \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{w \cdot \left(2 - \frac{1}{512}\right)}{1/2} = w \cdot \frac{1023}{512}.
2 вариант: \Sigma_2 = 0 + \frac{0}{1+r} + \frac{0}{(1+r)^2} + \frac{0}{(1+r)^3} + \frac{t}{(1+r)^4} + \frac{t}{(1+r)^5} + \frac{t}{(1+r)^6} + \frac{w}{(1+r)^7} + \frac{w}{(1+r)^8} + \frac{w}{(1+r)^9} = \frac{t}{2^4} + \frac{t}{2^5} + \frac{t}{2^6} + \frac{w}{2^7} + \frac{w}{2^8} + \frac{w}{2^9}=\frac { \frac{t}{2^4} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3\right)}{1/2} + \frac{\frac{w}{2^7} \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^3\right)}{1/2} = \frac{t}{2^3} \cdot \left(1 - \frac{1}{8}\right) + \frac{w}{2^6} \cdot \left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot \left(t + \frac{w}{8}\right)
b = \frac{t}{2^4}, \quad q = \frac{1}{2}, \quad n = 2
Безразличие:
w \cdot \frac{1023}{512} = \frac{7}{64} \cdot \left(t + \frac{W}{8}\right) \implies W = \left(\frac{1023}{56} w - t\right) \cdot 8 \implies \frac{1023w}{7} - 8t = W