Воспроизводимый ограниченный ресурс

Количественная
КПВ

В некотором городе действуют два предприятия, которые производят только два товара: товар и товар . Для производства этих товаров используются ресурсы альфа и бета. Количества товаров и , ресурсов альфа и бета беконечно делимые.

Известно, что на первом предприятии для производства двух единиц товара нужно затратить одну единицу ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства единицы товара потребуется только одна единица ресурса альфа.

На втором предприятии из единицы ресурса альфа и четырёх единиц ресурса бета можно получить одну единицу товара , а из единицы ресурса альфа можно произвести две единицы товара .

Также известно, что в процессе производства товара образуется некоторое количество ресурса бета. Так на первом предприятии при производстве трёх единиц товара образуются единицы ресурса бета, а на втором предприятии при производстве трех единиц товара образуются две единицы ресурса бета.

В начале каждого месяца город поставляет каждому предприятию единиц ресурса альфа и единиц ресурса бета, передавать и обменивать ресурсы предприятия не могут. Если на конец месяца у предприятия остаются ресурсы, то город их забирает. Т.е. в начале каждого месяца каждое предприятие имеет в своём распоряжении ровно единиц ресурса альфа и ровно единиц ресурса бета.

  1. Постройте график КПВ каждого предприятия.

  2. Предположим, в результате острой конкурентной борьбы произошло объединение этих двух предприятий в производственное объединение (ПО). Теперь ПО на тех же условиях получает от города каждый месяц единиц ресурса альфа и единиц ресурса бета. Постройте КПВ производственного объединения.

  3. Пусть товар продается на рынке по цене , а товар – по цене . Какой объём производства каждого товара позволит ПО получить наибольшую выручку и чему будет в этом случае равна выручка?

  4. Как должна измениться цена товара , чтобы ПО изменило свой выбор относительно объемов производства товаров по сравнению с решением, принятым в п. ?

  5. Предположим, что помимо товаров и производственное объединение может также продавать ресурс бета. Пусть цены на товары и соответствуют пункту . При какой цене ресурса бета предприятие будет производить товар ?

Для начала составим из условия уравнения ресурсозатрат для каждого товара на каждом предприятии (т.е. пока на ограничение кол-ва ресурсов внимания не обращаем). Через будем обозначать дополнительное кол-во ресурса бета, которое предприятие получает, производя товар .

Предприятие :

Предприятие :

Заметим, что, если мы вставим в уравнения ресурсо затрат вместо   и   количества данных ресурсов, которыми располагают предприятия, мы получим максимальное количество , которое могут произвести предприятия при нулевом производстве (ведь ресурс , необходимый для производства , мы полностью отправили на производство , как и ресурс  ).

Но предприятия могут производить не только товар , часть ресурса   всё-таки идёт на производство товара , следовательно, количество ресурса , задействованное в производстве уже будет меньше на эту самую часть.

И чем больше мы будем производить товара , тем меньше ресурса останется на производство товара .

Однако в процессе производства товара выделяется ресурс , который мы можем направить только на производства товара (что мы и сделаем). Отсюда следует, что чем больше мы производим товара , тем больше ресурса   мы можем задействовать на производстве товара .

Теперь выразим количества   и , которые мы можем задействовать в производстве товара через объём производства товара .

Предприятие :

Предприятие :

Теперь для того, чтобы получить уравнения КПВ нужно просто вставить количества и в уравнения ресурсозатрат производства товара .

Предприятие :

Предприятие :

Ответ на второй вопрос

Из ответа на первый вопрос видно, что предприятие должно специализироваться на производстве товара , а предприятие на производстве товара .

В таком случае уравнения ресурсозатрат ПО будут выглядеть так:

Чтобы получить уравнение КПВ выражаем ресурсы через и подставляем значения в уравнение ресурсозатрат производства (т.е. делаем всё тоже самое, что и в предыдущем пункте, но не забываем, что кол-во доступных ресурсов теперь в два раза больше).

КПВ ПО

Ниже представлены (для наглядности) графики всех трёх КПВ на одной системе координат.

Красный – предприятие .

Синий – предприятие .

Зелёный - ПО

Ответ на третий вопрос

Для начала заметим, что ПО никогда не выберет объём производства меньше , т.к. тогда оно окажется на возрастающем участке КПВ (т.е. сможет увеличить производство обоих товаров сразу).

Также, убывающий участок КПВ представляет собой прямую с коэффициентом при (т.е. увеличивая производства на , мы отказываемся от одного ). Т.к. , а , производство каждой дополнительной единицы (на убывающем участке) будет приносить нам ед. убытков. Следовательно, оптимальный объём производства – точка перегиба , а .

Ответ на четвёртый вопрос

Т.к. убывающий участок КПВ – это прямая с коэффициентом при .

Для того, чтобы ПО изменило объём производства цена должна быть больше цены .

А для этого она должна увеличиться более чем на ед. или более чем в раза.

Ответ на пятый вопрос

Для начало определим максимальное количество ресурса , которым может обеспечить себя предприятие.

Вспомним, что для ПО: , a максимальное кол-во .

Следовательно, максимальное кол-во 

( – это поставки от города)

Цена .

Для того, чтобы предприятие выбрало ненулевой объём производства должно выполняться следующее неравенство:

Пояснение: в левой части неравенства – выручка от продажи и , а в правой части неравенства – максимально возможная выручка предприятия при данных ценах (а именно – выручка от продажи и ).

Есть другой вариант решения. Заметим, что при уменьшении кол-ва на , мы будем приобретать ед. выручки за каждую единицу (из-за того, что дороже на и тангенс угла наклона убывающего участка КПВ ).

Также, мы будем терять   за каждую единицу и терять  за производство каждой дополнительной единицы . Итого:   мы будем терять при движении влево по КПВ.

Отсюда неравенство: .

т.е. .