Воспроизводимый ограниченный ресурс
В некотором городе действуют два предприятия, которые производят только два товара: товар X и товар Y. Для производства этих товаров используются ресурсы альфа и бета. Количества товаров X и Y, ресурсов альфа и бета беконечно делимые.
Известно, что на первом предприятии для производства двух единиц товара Y нужно затратить одну единицу ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства единицы товара X потребуется только одна единица ресурса альфа.
На втором предприятии из единицы ресурса альфа и четырёх единиц ресурса бета можно получить одну единицу товара Y, а из единицы ресурса альфа можно произвести две единицы товара X.
Также известно, что в процессе производства товара X образуется некоторое количество ресурса бета. Так на первом предприятии при производстве трёх единиц товара X образуются 4 единицы ресурса бета, а на втором предприятии при производстве трех единиц товара X образуются две единицы ресурса бета.
В начале каждого месяца город поставляет каждому предприятию 30 единиц ресурса альфа и 40 единиц ресурса бета, передавать и обменивать ресурсы предприятия не могут. Если на конец месяца у предприятия остаются ресурсы, то город их забирает. Т.е. в начале каждого месяца каждое предприятие имеет в своём распоряжении ровно 30 единиц ресурса альфа и ровно 40 единиц ресурса бета.
1. Постройте график КПВ каждого предприятия.
2. Предположим, в результате острой конкурентной борьбы произошло объединение этих двух предприятий в производственное объединение (ПО). Теперь ПО на тех же условиях получает от города каждый месяц 60 единиц ресурса альфа и 80 единиц ресурса бета. Постройте КПВ производственного объединения.
3. Пусть товар Y продается на рынке по цене 30, а товар X – по цене 10. Какой объём производства каждого товара позволит ПО получить наибольшую выручку и чему будет в этом случае равна выручка?
4. Как должна измениться цена товара X, чтобы ПО изменило свой выбор относительно объемов производства товаров по сравнению с решением, принятым в п.3 ?
5. Предположим, что помимо товаров X и Y производственное объединение может также продавать ресурс бета. Пусть цены на товары X и Y соответствуют пункту 3. При какой цене ресурса бета предприятие будет производить товар Y ?
Для начала составим из условия уравнения ресурсозатрат для каждого товара на каждом предприятии (т.е. пока на ограничение кол-ва ресурсов внимания не обращаем). Через \beta^+ будем обозначать дополнительное кол-во ресурса бета, которое предприятие получает, производя товар X.
Предприятие 1 :
Y = \min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta) \\ X = \alpha \\ \beta^+ = \frac{4}{3}X
Предприятие 2 :
Y = \min(\alpha; \frac{1}{4}\beta) \\ X = 2\alpha \\ \beta^+ = \frac{2}{3}X
Заметим, что, если мы вставим в уравнения ресурсо затрат вместо \alpha и \beta количества данных ресурсов, которыми располагают предприятия, мы получим максимальное количество Y, которое могут произвести предприятия при нулевом производстве X (ведь ресурс \alpha, необходимый для производства X, мы полностью отправили на производство Y, как и ресурс \beta ).
Но предприятия могут производить не только товар Y, часть ресурса \alpha всё-таки идёт на производство товара X, следовательно, количество ресурса \alpha, задействованное в производстве Y уже будет меньше на эту самую часть.
И чем больше мы будем производить товара X, тем меньше ресурса \alpha останется на производство товара Y.
Однако в процессе производства товара X выделяется ресурс \beta, который мы можем направить только на производства товара Y (что мы и сделаем). Отсюда следует, что чем больше мы производим товара X, тем больше ресурса \beta мы можем задействовать на производстве товара Y.
Теперь выразим количества \alpha и \beta, которые мы можем задействовать в производстве товара Y через объём производства товара X.
Предприятие 1 :
\alpha = 30 - X \\ \beta = 40 + \frac{4}{3}X
Предприятие 2 :
\alpha = 30 - \frac{X}{2} \\ \beta = 40 + \frac{2}{3}X
Теперь для того, чтобы получить уравнения КПВ нужно просто вставить количества \alpha и \beta в уравнения ресурсозатрат производства товара Y.
Предприятие 1 :
Y = \min(2(30 - X); \frac{1}{2}(40 + \frac{4}{3}X)) = \min(60 - 2X; 20 + \frac{2}{3}X)
Предприятие 2 :
Y = \min\left((30 - \frac{X}{2}); \frac{1}{4}(40 + \frac{2}{3}X)\right) = \min\left(30 - \frac{X}{2}; 10 + \frac{1}{6}X\right)
Ответ на второй вопрос
Из ответа на первый вопрос видно, что предприятие 1 должно специализироваться на производстве товара Y, а предприятие 2 на производстве товара X.
В таком случае уравнения ресурсозатрат ПО будут выглядеть так:
Y = \min(2\alpha; \frac{1}{2}\beta) \\ X = 2\alpha \\ \beta^+ = \frac{2}{3}X
Чтобы получить уравнение КПВ выражаем ресурсы через X и подставляем значения в уравнение ресурсозатрат производства Y (т.е. делаем всё тоже самое, что и в предыдущем пункте, но не забываем, что кол-во доступных ресурсов теперь в два раза больше).
КПВ ПО
Y = \min(2(60 - \frac{X}{2}); \frac{1}{2}(80 + \frac{2}{3}X)) = \min(120 - X; 40 + \frac{1}{3}X)
Ниже представлены (для наглядности) графики всех трёх КПВ на одной системе координат.
Красный – предприятие 1.
Синий – предприятие 2.
Зелёный - ПО
Ответ на третий вопрос
Для начала заметим, что ПО никогда не выберет объём производства X меньше 60, т.к. тогда оно окажется на возрастающем участке КПВ (т.е. сможет увеличить производство обоих товаров сразу).
Также, убывающий участок КПВ представляет собой прямую с коэффициентом -1 при x (т.е. увеличивая производства X на 1, мы отказываемся от одного Y ). Т.к. P_Y=30, а P_X=10, производство каждой дополнительной единицы X (на убывающем участке) будет приносить нам 20 ед. убытков. Следовательно, оптимальный объём производства – точка перегиба (60;60), а TR_{max}=2400.
Ответ на четвёртый вопрос
Т.к. убывающий участок КПВ – это прямая с коэффициентом -1 при X.
Для того, чтобы ПО изменило объём производства цена X должна быть больше цены Y.
А для этого она должна увеличиться более чем на 20 ед. или более чем в 3 раза.
Ответ на пятый вопрос
Для начало определим максимальное количество ресурса \beta, которым может обеспечить себя предприятие.
Вспомним, что для ПО: \beta^+ = \frac{2}{3}X, a максимальное кол-во X=120.
Следовательно, максимальное кол-во \beta = \frac{2}{3} * 120 + 80 = 160.
( 80 – это поставки от города)
Цена Y=30.
Для того, чтобы предприятие выбрало ненулевой объём производства Y должно выполняться следующее неравенство:
160 * P_\beta + 120 * 10 < 2400 \\ 160 * P_\beta < 1200 \\ P_\beta < 7{,}5
Пояснение: в левой части неравенства – выручка от продажи \beta и X, а в правой части неравенства – максимально возможная выручка предприятия при данных ценах (а именно – выручка от продажи 60Y и 60X ).
Есть другой вариант решения. Заметим, что при уменьшении кол-ва X на 1, мы будем приобретать 20 ед. выручки за каждую единицу (из-за того, что Y дороже X на 20 и тангенс угла наклона убывающего участка КПВ =-1 ).
Также, мы будем терять \frac{1}{3}\beta за каждую единицу X и терять 2\beta за производство каждой дополнительной единицы Y. Итого: \frac{8}{3}\beta мы будем терять при движении влево по КПВ.
Отсюда неравенство: 20>\frac{8}{3}P_{\beta}.
т.е. 7,5>P_{\beta}.