Оптимальная цена при неизвестном спросе

Если бы функция спроса проходила по нижней границе 24−p, оптимальная цена равнялась бы 12, а если по верхней границе 26−p, то 13. Поэтому естественно предположить, что оптимальная цена может принимать лишь значения от 12 до 13. В действительности, это не так. Обозначим истинную функцию выручки за TR(p)=p \cdot D(p). Нам известно, что p(24−p) \leq TR(p) \leq p(26−p). До нижеприведенного решения можно додуматься, если построить графики функций p(24−p) и p(26−p) (см. рис. 5.1) и попытаться вписывать разные графики TR(p)  между этими двумя параболами.

Докажем, что оптимальная цена p^*  не может быть меньше 8. Действительно, назначая цену p<8, фирма в лучшем случае получит выручку p(26−p)<8 \cdot(26−8)=144. Если же фирма

назначит цену 12, она получит не меньше, чем 12 \cdot (24−12)=144. Значит, любая цена, меньшая 8, не может быть оптимальна.

Аналогично, если фирма назначит цену p>18, она в лучшем случае получит выручку p(26−p)<18 \cdot (26−18)=144. Если же фирма назначит цену 12, она получит не меньше, чем 12 \cdot (24−12)=144. Значит, любая цена, большая 18, не может быть оптимальна.

Наконец, покажем, что любая цена из отрезка [8; 18] может быть оптимальной для какой-то функции спроса D(p), удовлетворяющей условию. Вообще говоря, для каждой цены \hat{p} \in [8;18]  можно привести «свой» пример функции спроса \hat{D}(p), такой, что \hat{p}  является оптимальной ценой при спросе \hat{D}(p). Однако в данной задаче существует единый пример, который покрывает сразу все цены из отрезка [8; 18]. Рассмотрим функцию спроса

\hat{D}(p) = \begin{cases} 26 - p, & \text{если} \ p < 8; \\ \frac{144}{p}, & \text{если} \ 8 \leq p < 18; \\ 26 - p, & \text{если} \ 18 \leq p < 26; \\ 0, & \text{если} \ p \geq 26. \end{cases}

Легко проверить, что 24−p \leq \hat{D}(p) \leq 26−p  и при этом для данной функции спроса оптимальными являются все цены от 8 до 18 (см. рис. 5.2).

Ответ: 

8 \leq p^* \leq 18.