а) Восстанавливая функцию спроса по двум точкам P = 50, Q = 10 и P = 40, Q = 20, получаем Qd = 60 − P. Пусть новая (после падения) функция предложения есть Q = cP − d. Предложение точно проходит через точку P = 50, Q = 10, поэтому 10 = 50c − d, d = 50c − 10, так что

q1 = cP + 10 − 50c

Эластичность предложения в данной точке равна

E = c (P/Q) = c (50/10) = 5c.

По условию, E \in [1; 10], откуда c \in [0,2; 2]. В результате введения процентной субсидии кривая предложения поворачивается: q₂= c \cdot s \cdot P − d, где s –– то, во сколько раз цена производителя больше цены потребителя при введении субсидии. Функция предложения должна пройти через точку Q = 20, P = 40, или ниже, откуда

20 \leq c \cdot s \cdot 40 − d = c \cdot s \cdot 40 + 10 − 50c.

s \geq (10 + 50c)(40c) = 1/4c + 5/4

Нам нужно найти минимальное значение s, при котором данное неравенство выполняется для всех c \in [0,2; 2]. Правая часть убывает по c, поэтому неравенство выполнено для всех c \in [0,2; 2] при наименьшем c из этого отрезка, c = 0,2. Значит, искомый минимальный коэффициент субсидии есть

s_min = 1/4 \cdot 0,2 + 5/4 = 1,25 + 1,25 = 2,5.

Значит, искомая ставка субсидии есть s − 1 = 1,5.

Ответ: 150 %.

Примечание: Значение c = 0,2 соответствует минимальной эластичности E = 1. До того, что нужно брать минимальную эластичность, можно додуматься на основе экономической интуиции. Действительно, нам нужно увеличить выпуск, а эластичность предложения как раз и есть параметр, который показывает, насколько легко фирмы готовы увеличить выпуск при увеличении цены. Чем меньше эластичность, тем меньше фирмы готовы увеличивать выпуск, и тем хуже ситуация для нас. Нам нужно, чтобы субсидия сработала даже в худшем случае, и поэтому нужно рассчитывать субсидию исходя из минимальной эластичности.

б) Найдем новое равновесие после введения субсидии по ставке 150 %.

60 − P = 2,5cP − 50c + 10,

откуда P = 20 + 30/(2,5c+1), Q = 60 − P = 40 − 30/(2,5c+1). Q монотонно возрастает по c, поэтому максимальное Q соответствует максимальному c, а минимальное Q соответствует минимальному c. При c = 0,2 Q = 20, при c = 2 Q = 35.

Ответ: Q \in [20; 35].

в) Возможен долгий вывод расходов в зависимости от эластичности или коэффициента c, но это не требуется. Будем рассматривать расходы на выплату субсидии как функцию от Q. Эти расходы равны S = 1,5 \cdot P \cdot Q = 1,5 \cdot (60 − Q)Q. Нам нужно лишь найти максимальное и минимальное значение этой квадратичной функции на отрезке [20; 35]. Ветви параболы направлены вниз, поэтому максимум достигается в вершине Q* = 30 \in [20; 35]. Максимальное значение расходов на выплату субсидии составляет 1,5 \cdot 302 = 1350. В силу симметричности параболы, минимальное значение достигается в более далеком от вершины конце отрезка, то есть при Q = 20; оно равно 1,2 \cdot \cdot 40 \cdot 20 = 1200. Ответ: S \in [1200; 1350]. Примечание: если ошибочно предположить, что минимум и максимум расходов достигаются при крайних значениях Q, то можно прийти к неверному ответу [1200; 1312,5]