Мечи в Тридевятом государстве
В Тридевятом государстве существует два региона, КПВ которых y_1=30-0,5x_1 и y_2=50-2x_2 соответственно. Государство максимизирует количество мечей, которые можно производить по двум технологиям. Таким образом, если производить мечи по первой технологии, то для производства одного меча потребуется 5 единиц товара x и 5 единиц товара y. Если же производить мечи по второй технологии, то для производства одного меча потребуется 8 единиц товара x и 2 единицы товара y. Найдите, какое максимальное количество мечей сможет произвести Тридевятое государство, если:
a) можно использовать только одну технологию (в этом и следующих пунктах считайте, что мечи бесконечно делимые).
b) можно использовать две технологии. Также для данного пункта найдите, сколько мечей будет произведено по каждой технологии.
с) государство вступает в торговлю, и теперь две единицы x можно обменять на одну единицу y (и наоборот). Также всё еще можно использовать две технологии. Как изменится ответ по сравнению с пунктом b)? Почему?
Для начала найдём общую КПВ: заметим, что альтернативные издержки производства x
в первом регионе меньше, чем альтернативные издержки производства x во втором регионе (так как 0,5<2 ). Тогда КПВ имеет следующий вид:
y = \begin{cases} 80 - 0.5x, & x \in [0; 60] \\ 170 - 2x, & x \in [60; 85] \end{cases}
Первая технология: k_1 = \min\left(\frac{x}{5}, \frac{y}{5}\right)
Вторая технология: k_2 = \min\left(\frac{x}{8}, \frac{y}{2}\right)
Продолжение решения в комментариях.
Ответ:
а) Государство произведёт 10\frac{2}{3} меча.
б) Государство произведёт 11 мечей, 9\frac{1}{3} по первой технологии, 1\frac{2}{3} - по второй.
в) Государство произведёт 13\frac{1}{3} меча. Количество мечей выросло.