(a) [5 баллов] Для начала запишем ограничения нашего производства. Ограничение по земле:

\frac{X}{A} + \frac{Y}{C} \leq Z, где Z — площадь чернозёма в кв.м в стране K. Ограничение по воде:

BX + Y \leq W, где W — объём воды в литрах в кв.м в стране K.

Оба ограничения должны выполняться одновременно. Это значит, что КПВ должна быть либо нижней огибающей из двух прямых (рисунок 1) или просто прямой, если одно ограничение лежит строго выше другого (рисунок 2).

Однако мы легко можем убедиться, что три данных в условии точки должны принадлежать вогнутой кривой(центральная точка лежит под прямой соединяющей крайние, см. график ниже), что противоречит нашим умозаключениям, а значит в отчете есть ошибка.

(б) Теперь все три точки лежат на одной прямой, а значит возможна лишь ситуация, показанная в пункте а) на рисунке 2.

Рассмотрим возможные случаи, зная, что Z=W, а уравнение КПВ страны K равно Y=20-2X.

1) Ограничение по Z лежит нестрого выше ограничения по W : это эквивалентно тому, что максимальные значения КПВ по игреку и иксу у ограничения на Z были меньше:

Y_{Z}^{max} = CZ \geq Y_{W}^{max} = W \Rightarrow C \geq 1.

X_{Z}^{max} = AZ \geq X_{W}^{max} \Rightarrow A \geq \frac{1}{B}.

Более того, мы знаем, что BX + Y = W эквивалентно Y = 20 - 2X, отсюда делаем вывод, что B = 2, а используя результат, полученный выше, понимаем, что все возможные значения параметров в этом случае описываются как B = 2, A > 0.5, C > 1.

2) Ограничение по W лежит нестрого выше ограничения по Z: это эквивалентно тому, что максимальные значения КПВ по игреку и иксу у ограничения на W были не меньше:

Y_{Z}^{max} = CZ \leq Y_{W}^{max} = W \Rightarrow C \leq 1.

X_{Z}^{max} = AZ \leq X_{W}^{max} \Rightarrow A \leq \frac{1}{B}.

Более того, мы знаем, что \frac{X}{A} + \frac{Y}{C} = Z эквивалентно Y = 20 - 2X, отсюда делаем вывод, что C = 2A (больше сказать нельзя, мы не знаем значения Z), а используя результат, полученный выше и подставляя в него это соотношение, понимаем, что все возможные значения параметров в этом случае описываются как A < \min\left(\frac{1}{B}, 0.5\right), C = 2A.

Объединив ответы, чтобы получить следующую систему:

\begin{cases} B = 2 \\ A > 0.5 \\ C > 1 \\ A < \min\left(\frac{1}{B}, 0.5\right) \\ C = 2A \end{cases}

(в) Заметим, что случай 1 из предыдущего пункта нам не подходит, так как в нём

Y_{W}^{max} = W = 1000 > 20,

поэтому рассмотрим сразу второй случай.

Теперь мы знаем, что

\frac{X}{A} + \frac{Y}{C} = 1000 \text{ эквивалентно } Y = 20 - 2X.

Поделим первое уравнение на 50:

\frac{X}{50A} + \frac{Y}{50C} = 20,

приравнивая коэффициенты, получим, что A = 0.01, C = 0.02. Заметим, что в данном случае ограничение A < 0.5 выполняется, а про значение B нам ничего не дано, значит никаких противоречий нет и мы все прошли.

Схема оценки: 5 баллов за верный обоснованный ответ, ставится 2 балла, если рассмотрен только один из двух случаев. За неправильный ответ A < 0.5 баллы не снимаются. -1 балл за арифметическую ошибку в этом пункте, если логика задачи не нарушена, а только числа в ответах другие (не путать с ситуацией, когда в предыдущем пункте есть арифметическая ошибка).