Производство загадочных икс и игрек
В загадочной стране K выращивают иксы и игреки, для которых нужен одновременно чернозём и достаточное количество влаги. Оба этих ресурса в стране ограничены. Известно, что на участке земли площадью 1 кв.м. можно вырастить либо A единиц иксов, каждому иксу для того, чтобы прорасти требуется B литров воды, либо C игреков, и каждому игреку потребуется 1 литр воды. При этом количество произведенных иксов и количество произведенных игреков могут быть любыми, не обязательно целыми или кратными A и C. Учёный Незнайкин предоставил отчет по количеству произведённых иксов и игреков в разные годы. Количество чернозема и воды не менялось в стране, при этом ресурсы всегда использовались рационально. Глядя на таблицу из доклада ниже, ученый Знайкин отметил, что как минимум один показатель внесен неверно. Ему даже не пришлось уточнять значение параметров A, B, C. Производство иксов и игреков в стране K:
(а) [5 баллов] Что позволило Знайкину сделать такой вывод?
(б) [15 баллов] Незнайкин признался, что поставил значение произведенных во второй год игреков случайным образом. На самом деле, во второй год было произведено 8 игреков. Как должны соотноситься параметры, чтобы отчет был верным, если известно, что количество чернозема в кв.м. и количество влаги в литрах одинаково?
(в) [5 баллов] Располагая информацией о том, что площадь, пригодная для высадки иксов и игреков равна 1 тысяче кв.м., а количество доступной воды 1 тысяче литров, найдите, чему равны А и C.
(a) [5 баллов] Для начала запишем ограничения нашего производства. Ограничение по земле:
\frac{X}{A} + \frac{Y}{C} \leq Z, где Z — площадь чернозёма в кв.м в стране K. Ограничение по воде:
BX + Y \leq W, где W — объём воды в литрах в кв.м в стране K.
Оба ограничения должны выполняться одновременно. Это значит, что КПВ должна быть либо нижней огибающей из двух прямых (рисунок 1) или просто прямой, если одно ограничение лежит строго выше другого (рисунок 2).
Однако мы легко можем убедиться, что три данных в условии точки должны принадлежать вогнутой кривой(центральная точка лежит под прямой соединяющей крайние, см. график ниже), что противоречит нашим умозаключениям, а значит в отчете есть ошибка.
(б) Теперь все три точки лежат на одной прямой, а значит возможна лишь ситуация, показанная в пункте а) на рисунке 2.
Рассмотрим возможные случаи, зная, что Z=W, а уравнение КПВ страны K равно Y=20-2X.
1) Ограничение по Z лежит нестрого выше ограничения по W : это эквивалентно тому, что максимальные значения КПВ по игреку и иксу у ограничения на Z были меньше:
Y_{Z}^{max} = CZ \geq Y_{W}^{max} = W \Rightarrow C \geq 1.
X_{Z}^{max} = AZ \geq X_{W}^{max} \Rightarrow A \geq \frac{1}{B}.
Более того, мы знаем, что BX + Y = W эквивалентно Y = 20 - 2X, отсюда делаем вывод, что B = 2, а используя результат, полученный выше, понимаем, что все возможные значения параметров в этом случае описываются как B = 2, A > 0.5, C > 1.
2) Ограничение по W лежит нестрого выше ограничения по Z: это эквивалентно тому, что максимальные значения КПВ по игреку и иксу у ограничения на W были не меньше:
Y_{Z}^{max} = CZ \leq Y_{W}^{max} = W \Rightarrow C \leq 1.
X_{Z}^{max} = AZ \leq X_{W}^{max} \Rightarrow A \leq \frac{1}{B}.
Более того, мы знаем, что \frac{X}{A} + \frac{Y}{C} = Z эквивалентно Y = 20 - 2X, отсюда делаем вывод, что C = 2A (больше сказать нельзя, мы не знаем значения Z), а используя результат, полученный выше и подставляя в него это соотношение, понимаем, что все возможные значения параметров в этом случае описываются как A < \min\left(\frac{1}{B}, 0.5\right), C = 2A.
Объединив ответы, чтобы получить следующую систему:
\begin{cases} B = 2 \\ A > 0.5 \\ C > 1 \\ A < \min\left(\frac{1}{B}, 0.5\right) \\ C = 2A \end{cases}
(в) Заметим, что случай 1 из предыдущего пункта нам не подходит, так как в нём
Y_{W}^{max} = W = 1000 > 20,
поэтому рассмотрим сразу второй случай.
Теперь мы знаем, что
\frac{X}{A} + \frac{Y}{C} = 1000 \text{ эквивалентно } Y = 20 - 2X.
Поделим первое уравнение на 50:
\frac{X}{50A} + \frac{Y}{50C} = 20,
приравнивая коэффициенты, получим, что A = 0.01, C = 0.02. Заметим, что в данном случае ограничение A < 0.5 выполняется, а про значение B нам ничего не дано, значит никаких противоречий нет и мы все прошли.
Схема оценки: 5 баллов за верный обоснованный ответ, ставится 2 балла, если рассмотрен только один из двух случаев. За неправильный ответ A < 0.5 баллы не снимаются. -1 балл за арифметическую ошибку в этом пункте, если логика задачи не нарушена, а только числа в ответах другие (не путать с ситуацией, когда в предыдущем пункте есть арифметическая ошибка).