Задание 7. МЭ ВСоШ 2024 (9 класс)
Исследование рынка труда в стране W показало, что связь среднего годового дохода отдельно взятого занятого гражданина можно описать функцией
S=-(a-50)^2+52500,
где S – средняя годовая заработная плата в долларах, a – возраст работника от 18 до 60 лет. При этом если работник до выхода на рынок труда получал высшее образование, эта зависимость выглядит как
S=-\frac{a^2}{x+1}+100a-100x+50000,
где x – количество лет, которые работник потратил на получение высшего образования (надо понимать, что пока работник получает образование, он не может работать и получать опыт).
Определите, какое наибольшее число полных лет нужно потратить на получение образования работнику, чтобы начиная ровно с 27 лет его доход в каждом году превышал его аналогичный доход при отсутствии образования.
Ответ: 6.
Решение: определим условия, при которых средний годовой доход при наличии образования будет строго выше, чем доход при отсутствии образования:
-\frac{a^2}{x+1} + 100a - 100x + 50\,000 > -(a-50)^2 + 52\,500 \\ -\frac{a^2}{x+1} + 100a - 150x + 50\,000 > -a^2 + 100a - 2\,500 + 52\,500 \\ -\frac{a^2}{x+1} - 100x > -a^2 \\ -a^2 - 100x^2 - 100x > -a^2x - a^2 \\ a^2x - 100x^2 - 100x > 0 \\ x(a^2 - 100x - 100) > 0 \rightarrow a^2 > 100(x+1)
Это выражение должно выполняться для любого a от 27 до 60. Необходимым и достаточным условие будет его выполнение для наименьшего a из диапазона:
27^2>100(x+1)=>(x+1)<729/100=7,29
x<6,29
Наибольшее целое x, удовлетворяющее условию, это 6.
За верный ответ – 8 баллов.