Для начала определим годовую прибыль фирмы X в тот период, когда она была единственным производителем генераторов смеха. \pi=P*Q-100Q=(600-Q)Q-100Q=-Q^2+500Q. 2Q=500. Q=250. \pi_{max}=-250^2+500*250=62500.

Логика рассуждений руководства фирмы X в процессе выработки соглашения будет следующей. Предположим, фирма X установила роялти в размере r. Узнав величину r, фирма Y пытается определить Q_Y. Для этого она, в свою очередь, моделирует поведение фирмы X. При неких уже установленных значениях r и Q_Y мы получаем следующие значения переменных величин:

остаточный спрос для фирмы X : Q_X=600-P-Q_Y ;

рыночная цена: P=600-Q_X-Q_Y ;

прибыль фирмы X с учетом роялти: \pi_X=P*Q_X-100Q_X+r*Q_Y= (600 – Q_X – Q_Y)*Q_X – 100Q_X + r*Q_Y=500Q_X – Q_X ^2 – Q_X Q_Y + r*Q_Y (1)

На этом этапе решения часто возникает вопрос: почему бы не найти максимум \pi_X как функции двух переменных: Q_X и r ? К сожалению, это было бы ошибкой. В выражении (1) в качестве экзогенной (заданной извне) величины присутствует Q_Y, которая является функцией r (поскольку объем выпуска фирмы Y, очевидно, зависит от величины роялти), а вид этой функции нам пока неизвестен.

Поэтому, получив выражение для \pi_X, мы решаем следующую задачу: для некоторой неизвестно как выбранной фирмой X величины роялти (r) и установленной фирмой Y величины ее выпуска Q_Y определить, какой объем выпуска выберет фирма X, максимизируя свою ежегодную прибыль. Для этого возьмем производную функции \pi_X по переменной Q_X.

\pi_X'=500-2Q_X-Q_Y=0. Q_X=250-0,5Q_Y. Это уравнение реакции объема выпуска фирмы X на объем выпуска фирмы Y. Примечательно, что эта реакция будет одной и той же независимо от величины роялти, выбранной фирмой X. Точнее, так: исходя из функций издержек и функции спроса, присутствующих в данной задаче, для любого выбранного фирмой X значения r фирма Y, максимизируя прибыль, выберет такое значение Q_Y, в ответ на которое фирма X, также максимизируя прибыль, выберет Q_X=250-0,5Q_Y (2).

Далее фирма Y на основе уравнения реакции фирмы X выводит собственную функцию прибыли (с учетом роялти, выплачиваемых фирме X ): \pi_Y = P*Q_Y – 40*Y – r*Q_Y = (600 – Q_X – Q_Y)*Q_Y – 40Q_Y – r*Q_Y = [600 – (250 – 0,5Q_Y) – Q_Y]* Q_Y – 40Q_Y – r*Q_Y = –0,5Q_Y^ 2 + 310Q_Y – r*Q_Y. \pi_Y' = –Q_Y + 310 – r = 0. Q_Y = 310 – r. Это уравнение реакции объема выпуска фирмы Y на величину роялти r.

Используя уравнение (2), получаем: Q_X = 250 – 0,5*(310 – r) = 95 + 0,5r. Подставим теперь полученные выражения для Q_X и Q_Y в уравнение (1) : \pi_Х = 500(95 + 0,5r) – (95 + 0,5r)^ 2 – (95 + 0,5r) (310 – r) + r*(310 – r) = –0,75r^2 + 405r + 9025.

Максимум \pi_X достигается при условии:-1,5r+405=0. r=270. Максимальное значение прибыли фирмы X : \pi_Х = –0,75*270^2 + 405* 270 + 9025 = 63700.

Индекс роста прибыли: \frac {62500}{ 63700} = 1,0192.

Ответ. r=270, прибыль вырастет на 1,092\%.