S016
Долгое время фирма являлась единственным производителем уникального аппарата – генератора закадрового смеха для комедийных сериалов. Фирма была легальным монополистом, так как имела патент на данный аппарат. Функция спроса на рынке этих аппаратов в расчете на год имеет вид: . Предельные издержки фирмы (равные средним издержкам) составляют денежных единиц.
Однако через некоторое время на рынке появилась китайская фирма , заявившая о возможности производства такого же аппарата и предложившая фирме предоставить ей (фирме ) право производства данного аппарата на условиях выплаты патентообладателю (фирме ) специального вознаграждения – роялти – за каждую выпущенную единицу продукции. Предельные издержки фирмы (так же равные средним издержкам) составляют денежных единиц.
Предполагается, что обе фирмы знают об издержках друг друга, но это знание нельзя использовать как аргумент в переговорном процессе, поскольку информация об издержках получена, мягко говоря, неофициальным путем. Кроме того, обеим фирмам известна функция спроса.
После длительных переговоров между фирмами была выработана следующая формула соглашения: сначала фирма устанавливает величину роялти , затем фирма определяет свой объем выпуска , с которым должна согласиться фирма , а после этого фирма определяет свой объем выпуска , с которым должна согласиться фирма . Если фирму не устроит величина роялти, она может выбрать нулевой выпуск. Соглашение является бессрочным, поэтому будем предполагать, что обе фирмы максимизируют свою ежегодную прибыль.
Какой размер роялти установит фирма и на сколько процентов вырастет ее ежегодная прибыль после заключения соглашения?
Ответ
Для начала определим годовую прибыль фирмы в тот период, когда она была единственным производителем генераторов смеха. . . . .
Логика рассуждений руководства фирмы в процессе выработки соглашения будет следующей. Предположим, фирма установила роялти в размере . Узнав величину , фирма пытается определить . Для этого она, в свою очередь, моделирует поведение фирмы . При неких уже установленных значениях и мы получаем следующие значения переменных величин:
остаточный спрос для фирмы : ;
рыночная цена: ;
прибыль фирмы с учетом роялти:
На этом этапе решения часто возникает вопрос: почему бы не найти максимум как функции двух переменных: и ? К сожалению, это было бы ошибкой. В выражении в качестве экзогенной (заданной извне) величины присутствует , которая является функцией (поскольку объем выпуска фирмы , очевидно, зависит от величины роялти), а вид этой функции нам пока неизвестен.
Поэтому, получив выражение для , мы решаем следующую задачу: для некоторой неизвестно как выбранной фирмой величины роялти и установленной фирмой величины ее выпуска определить, какой объем выпуска выберет фирма , максимизируя свою ежегодную прибыль. Для этого возьмем производную функции по переменной .
. . Это уравнение реакции объема выпуска фирмы на объем выпуска фирмы . Примечательно, что эта реакция будет одной и той же независимо от величины роялти, выбранной фирмой . Точнее, так: исходя из функций издержек и функции спроса, присутствующих в данной задаче, для любого выбранного фирмой значения r фирма , максимизируя прибыль, выберет такое значение , в ответ на которое фирма , также максимизируя прибыль, выберет .
Далее фирма на основе уравнения реакции фирмы выводит собственную функцию прибыли (с учетом роялти, выплачиваемых фирме ): . . . Это уравнение реакции объема выпуска фирмы на величину роялти .
Используя уравнение , получаем: . Подставим теперь полученные выражения для и в уравнение :
Максимум достигается при условии:. . Максимальное значение прибыли фирмы :
Индекс роста прибыли:
Ответ. , прибыль вырастет на .