S016
Долгое время фирма X являлась единственным производителем уникального аппарата – генератора закадрового смеха для комедийных сериалов. Фирма X была легальным монополистом, так как имела патент на данный аппарат. Функция спроса на рынке этих аппаратов в расчете на год имеет вид: Q_d=600-P. Предельные издержки фирмы X (равные средним издержкам) составляют 100 денежных единиц.
Однако через некоторое время на рынке появилась китайская фирма Y, заявившая о возможности производства такого же аппарата и предложившая фирме X предоставить ей (фирме Y ) право производства данного аппарата на условиях выплаты патентообладателю (фирме X ) специального вознаграждения – роялти – за каждую выпущенную единицу продукции. Предельные издержки фирмы Y (так же равные средним издержкам) составляют 40 денежных единиц.
Предполагается, что обе фирмы знают об издержках друг друга, но это знание нельзя использовать как аргумент в переговорном процессе, поскольку информация об издержках получена, мягко говоря, неофициальным путем. Кроме того, обеим фирмам известна функция спроса.
После длительных переговоров между фирмами была выработана следующая формула соглашения: сначала фирма X устанавливает величину роялти (r), затем фирма Y определяет свой объем выпуска Q_Y, с которым должна согласиться фирма X, а после этого фирма X определяет свой объем выпуска Q_X, с которым должна согласиться фирма Y. Если фирму Y не устроит величина роялти, она может выбрать нулевой выпуск. Соглашение является бессрочным, поэтому будем предполагать, что обе фирмы максимизируют свою ежегодную прибыль.
Какой размер роялти (r) установит фирма X и на сколько процентов вырастет ее ежегодная прибыль после заключения соглашения?
Для начала определим годовую прибыль фирмы X в тот период, когда она была единственным производителем генераторов смеха. \pi=P*Q-100Q=(600-Q)Q-100Q=-Q^2+500Q. 2Q=500. Q=250. \pi_{max}=-250^2+500*250=62500.
Логика рассуждений руководства фирмы X в процессе выработки соглашения будет следующей. Предположим, фирма X установила роялти в размере r. Узнав величину r, фирма Y пытается определить Q_Y. Для этого она, в свою очередь, моделирует поведение фирмы X. При неких уже установленных значениях r и Q_Y мы получаем следующие значения переменных величин:
остаточный спрос для фирмы X : Q_X=600-P-Q_Y ;
рыночная цена: P=600-Q_X-Q_Y ;
прибыль фирмы X с учетом роялти: \pi_X=P*Q_X-100Q_X+r*Q_Y= (600 – Q_X – Q_Y)*Q_X – 100Q_X + r*Q_Y=500Q_X – Q_X ^2 – Q_X Q_Y + r*Q_Y (1)
На этом этапе решения часто возникает вопрос: почему бы не найти максимум \pi_X как функции двух переменных: Q_X и r ? К сожалению, это было бы ошибкой. В выражении (1) в качестве экзогенной (заданной извне) величины присутствует Q_Y, которая является функцией r (поскольку объем выпуска фирмы Y, очевидно, зависит от величины роялти), а вид этой функции нам пока неизвестен.
Поэтому, получив выражение для \pi_X, мы решаем следующую задачу: для некоторой неизвестно как выбранной фирмой X величины роялти (r) и установленной фирмой Y величины ее выпуска Q_Y определить, какой объем выпуска выберет фирма X, максимизируя свою ежегодную прибыль. Для этого возьмем производную функции \pi_X по переменной Q_X.
\pi_X'=500-2Q_X-Q_Y=0. Q_X=250-0,5Q_Y. Это уравнение реакции объема выпуска фирмы X на объем выпуска фирмы Y. Примечательно, что эта реакция будет одной и той же независимо от величины роялти, выбранной фирмой X. Точнее, так: исходя из функций издержек и функции спроса, присутствующих в данной задаче, для любого выбранного фирмой X значения r фирма Y, максимизируя прибыль, выберет такое значение Q_Y, в ответ на которое фирма X, также максимизируя прибыль, выберет Q_X=250-0,5Q_Y (2).
Далее фирма Y на основе уравнения реакции фирмы X выводит собственную функцию прибыли (с учетом роялти, выплачиваемых фирме X ): \pi_Y = P*Q_Y – 40*Y – r*Q_Y = (600 – Q_X – Q_Y)*Q_Y – 40Q_Y – r*Q_Y = [600 – (250 – 0,5Q_Y) – Q_Y]* Q_Y – 40Q_Y – r*Q_Y = –0,5Q_Y^ 2 + 310Q_Y – r*Q_Y. \pi_Y' = –Q_Y + 310 – r = 0. Q_Y = 310 – r. Это уравнение реакции объема выпуска фирмы Y на величину роялти r.
Используя уравнение (2), получаем: Q_X = 250 – 0,5*(310 – r) = 95 + 0,5r. Подставим теперь полученные выражения для Q_X и Q_Y в уравнение (1) : \pi_Х = 500(95 + 0,5r) – (95 + 0,5r)^ 2 – (95 + 0,5r) (310 – r) + r*(310 – r) = –0,75r^2 + 405r + 9025.
Максимум \pi_X достигается при условии:-1,5r+405=0. r=270. Максимальное значение прибыли фирмы X : \pi_Х = –0,75*270^2 + 405* 270 + 9025 = 63700.
Индекс роста прибыли: \frac {62500}{ 63700} = 1,0192.
Ответ. r=270, прибыль вырастет на 1,092\%.