Отдача и средний продукт
Рассмотрим фирму, технология которой описывается производственной функцией , где - фактор производства с номером . Известно, что технология обладает возрастающим средним продуктом по каждому фактору.
а) Предположим, производство использует единственный фактор . Покажите, что в этом случае технология обладает положительной отдачей от масштаба.
Ответ
Если средний продукт возрастает по , то верно неравенство
.
Умножаем на :
.
Это и есть определение положительной отдачи от масштаба.
б) Предположим, фирма использует два фактора . Верно ли, что технология обязательно обладает положительной отдачей от масштаба? Ответ обоснуйте.
Ответ
Если средние продукты растет по , то верно неравенство:
Из не убывания производственной функции следует:
Откуда из неравенств и получаем:
или
что свидетельствует о возрастающей отдаче от масштаба.
в) Обобщите результат пункта (б) на случай факторов.
Ответ
Рассмотрим факторную модель, в которой средний продукт, в том числе, по первому фактору растет:
или
Учитывая не убывание производственной функции:
Откуда получаем неравенство
,
свидетельствующее о возрастании отдачи от масштаба.
г) Докажите, что при пропорциональном увеличении всех факторов в раз выпуск растёт строго больше, чем в раз.
Ответ
Докажем более сильное неравенство:
Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору:
что эквивалентно:
Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в , начиная с и заканчивая - ым фактором.
Шаг : Увеличиваем в раз:
Шаг : Увеличиваем в раз (уже при увеличенном ):
Но из шага , поэтому:
Шаг : Увеличиваем в раз:
Но из шага , поэтому:
Продолжая процесс, на шаге :
На шаге (последний фактор) имеем неравенство:
Что и требовалось доказать.