Отдача и средний продукт
Рассмотрим фирму, технология которой описывается производственной функцией q(x_1, \ x_2,...,x_n), где x_i - фактор производства с номером i (1\leq i\leq n). Известно, что технология обладает возрастающим средним продуктом по каждому фактору.
а) Предположим, производство использует единственный фактор (n=1). Покажите, что в этом случае технология обладает положительной отдачей от масштаба.
Если средний продукт AP(x) = q(x)/x возрастает по x, то верно неравенство
\frac{q(tx)}{tx} > \frac{q(x)}{x}, \quad \forall t > 1.
Умножаем на tx :
q(tx) > t \cdot q(x).
Это и есть определение положительной отдачи от масштаба.
б) Предположим, фирма использует два фактора (n=2). Верно ли, что технология обязательно обладает положительной отдачей от масштаба? Ответ обоснуйте.
Если средние продукты AP_{x_1} = q(x_1, x_2)/x_1 растет по x_1, то верно неравенство: \frac{q(tx_1, x_2)}{tx_1} > \frac{q(x_1, x_2)}{x_1}, \quad \forall t > 1
q(tx_1, x_2) > t \cdot q(x_1, x_2). \quad (1)
Из не убывания производственной функции следует:
q(tx_1, tx_2) \geq q(tx_1, x_2). \quad (2)
Откуда из неравенств (1) и (2) получаем:
q(tx_1, tx_2) \geq q(tx_1, x_2) > tq(x_1, x_2).
или
q(tx_1, tx_2) > tq(x_1, x_2).
что свидетельствует о возрастающей отдаче от масштаба.
в) Обобщите результат пункта (б) на случай n\geq 1 факторов.
Рассмотрим n факторную модель, в которой средний продукт, в том числе, по первому фактору растет:
\frac{q(tx_1, x_2, \dots, x_n)}{tx_1} > \frac{q(x_1, x_2, \dots, x_n)}{x_1}.
или
q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t q(x_1, x_2, \dots, x_n)
Учитывая не убывание производственной функции:
q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) \geq q(tx_1, x_2, \dots, x_n) > t q(x_1, x_2, \dots, x_n)
Откуда получаем неравенство
q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > t q(x_1, x_2, \dots, x_n),
свидетельствующее о возрастании отдачи от масштаба.
г) Докажите, что при пропорциональном увеличении всех факторов в t>1 раз выпуск растёт строго больше, чем в t^n раз.
Докажем более сильное неравенство:
Запишем условие возрастания среднего продукта по каждому фактору: \frac{q(x_1, \ldots, t x_i, \ldots, x_n)}{t x_i} > \frac{q(x_1, \ldots, x_n)}{x_i}
что эквивалентно:
q(x_1, \ldots, t x_i, \ldots, x_n) > t \cdot q(x_1, \ldots, x_n)
Будем последовательно увеличивать величину используемого фактора в t>1, начиная с 1 и заканчивая n - ым фактором.
Шаг 1 : Увеличиваем x_1 в t раз:
q(t x_1, x_2, \ldots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \ldots, x_n)
Шаг 2 : Увеличиваем x_2 в t раз (уже при увеличенном x_1 ):
q(t x_1, t x_2, x_3, \ldots, x_n) > t \cdot q(t x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n)
Но q(t x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n) > t \cdot q(x_1, x_2, \ldots, x_n) из шага 1, поэтому: q(t x_1, t x_2, x_3, \ldots, x_n) > t \cdot (t \cdot q(x_1, x_2, \ldots, x_n)) = t^2 \cdot q(x_1, x_2, \ldots, x_n)
Шаг 3 : Увеличиваем x_3 в t раз:
q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n)
Но q(tx_1, tx_2, x_3, \dots, x_n) > t^2 \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n) из шага 2, поэтому: q(tx_1, tx_2, tx_3, x_4, \dots, x_n) > t \cdot (t^2 \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)) = t^3 \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)
Продолжая процесс, на шаге k :
q(tx_1, \dots, tx_k, x_{k+1}, \dots, x_n) > t^k \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)
На шаге n (последний фактор) имеем неравенство:
q(tx_1, tx_2, \dots, tx_n) > t^n \cdot q(x_1, x_2, \dots, x_n)
Что и требовалось доказать.