Аннуитет
Предприниматель Ксения берет в банке кредит на сумму рублей на лет под годовую процентную ставку . Кредит гасится ежегодно аннуитетными платежами (равными суммами в течение всего срока). Проценты начисляются на остаток долга раз в год.
Переплатой по кредиту будем называть разницу между общей суммой, выплаченной банку, и суммой первоначального долга. Как изменяется переплата и ежегодный платеж с ростом процентной ставки?
Ответ
Чтобы кредит был выплачен, долг на конец периода должен быть равен нулю:
или
Сумма в квадратных скобках — это сумма геометрической прогрессии:
Найдем ежегодную выплату :
Теперь докажем, что возрастает с ростом , рассматривая функцию:
Разделим числитель и знаменатель на :
Положим и найдем её производную:
Умножим на :
Производная полученной функции:
С учетом .числитель положителен, значит и возрастают.
Проанализируем переплату: если общая сумма выплат , переплата составит:
Так как возрастает, то также возрастает.
Ответ:
выплата и переплата растут.