Аннуитет

Чтобы кредит был выплачен, долг на конец n периода должен быть равен нулю:

\ldots (S(1+r) - x)(1+r) - x)(1+r) - x)\ldots)(1+r) - x = 0

или

S(1+r)^n - x \left[ (1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \cdots + (1+r) + 1 \right] = 0

Сумма в квадратных скобках — это сумма геометрической прогрессии:

(1+r)^{n-1} + (1+r)^{n-2} + \cdots + (1+r) + 1 = \frac{(1+r)^n - 1}{(1+r) - 1} = \frac{(1+r)^n - 1}{r}

Найдем ежегодную выплату x :

S(1+r)^n - x \cdot \frac{(1+r)^n - 1}{r} = 0

x = S \cdot \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

Теперь докажем, что x возрастает с ростом r, рассматривая функцию:

f(r) = \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}

Разделим числитель и знаменатель на (1+r)^n :

f(r) = \frac{r}{1 - (1 + r)^{-n}}

Положим f(r) = \frac{r}{g(r)} и найдем её производную:

f'(r) = \frac{g(r) - r g'(r)}{[g(r)]^2} \\ g(r) - r g'(r) = 1 - (1 + r)^{-n} - r \cdot n(1 + r)^{-n-1}

Умножим на (1 + r)^{n+1} > 0 :

h(r) = (1 + r)^{n+1} - (1 + r) - r n = (1 + r)^{n+1} - 1 - r(n + 1)

Производная полученной функции:

h'(r) = (n + 1)(1 + r)^n - (n + 1) = (n + 1)[(1 + r)^n - 1] > 0 \quad (r, n > 0)

С учетом h(r=0)=0.числитель f'(r)  положителен, значит f'(r) > 0 и x(r) возрастают.

Проанализируем переплату: если общая сумма выплат nx, переплата составит:

\Pi = n x(r) - S

Так как x(r) возрастает, то nX(r)-S также возрастает.

Ответ: 

выплата и переплата растут.