Банк и инвестиции

Вы когда-нибудь мечтали стать руководителем крупного банка? Представим, что Вы являетесь им. Вам открыты на выбор две инвестиционные технологии, различающиеся, естественно, доходностью, которая определяется периодом инвестирования. Пусть существуют периода (, где  ). Первый вариант подразумевает вложение средств в   и получение ровно такой же суммы в периоде . Напротив, вторая опция предлагает вложиться в   и выручить средства в , причём в размере ,где -сумма вложений, . Если проект завершается раньше , то инвестор ничего не получает и теряет все вложения в данный проект.

Пусть существуют вкладчики, которые разделяются на два типа: рискованные и менее рискованные. Последние не предпочитают держать деньги на счёте: наличные для них спокойнее. Предположим, что функцию полезности вкладчиков: , где  -уровень потребления,   - тип вкладчика,   - некий параметр.

Пусть в   вкладчик не знает к какому типу он относится, но начиная с   и вероятностью , он осознает, что он «менее рискованный». Такой вкладчик склонен забирать свой вклад в периоде , предпочитая потратить деньги на текущее потребление. Однако вкладчик иного типа готов ждать до   (при условии, что не боится за свои средства). Как руководитель банка, вы хотите определить оптимальную инвестиционную стратегию при данных рисках.

А) Предположим, что депозиты вкладчиков , которые могут быть сняты. Изначально у банка находится в распоряжении сумма , такая, что банк способен выдать только . Определите условия, при которых банк может провести инвестиционную политику и не обанкротиться.

Б) Результат, полученный построением финансовой модели на основе данных условий и максимизации общей функции полезности по уровню потребления двух групп, привёл к следующему соотношению:

Используя данное соотношение и условия из пункта A), определите оптимальные   и .

В) На основе условий прошлых пунктов и результатов, полученных Вами, объясните (интуитивно), почему данные значения являются оптимальными.

Вкладчик не боится банкротства банка, которое может случиться при большом набеге других вкладчиков в .