Вы когда-нибудь мечтали стать руководителем крупного банка? Представим, что Вы являетесь им. Вам открыты на выбор две инвестиционные технологии, различающиеся, естественно, доходностью, которая определяется периодом инвестирования. Пусть существуют 3 периода (T=i, где i=0,1,2 ). Первый вариант подразумевает вложение средств в T=0 и получение ровно такой же суммы в периоде T=1. Напротив, вторая опция предлагает вложиться в T=0 и выручить средства в T=2, причём в размере R*S,где S -сумма вложений, R>1. Если проект завершается раньше T=2, то инвестор ничего не получает и теряет все вложения в данный проект.

Пусть существуют вкладчики, которые разделяются на два типа: рискованные и менее рискованные. Последние не предпочитают держать деньги на счёте: наличные для них спокойнее. Предположим, что функцию полезности вкладчиков: u(x_i) = \frac{x_i^{1-\alpha}}{1 - \alpha}, где x -уровень потребления, i=1,2 - тип вкладчика, \alpha - некий параметр.

Пусть в T=0 вкладчик не знает к какому типу он относится, но начиная с T=1 и вероятностью p, он осознает, что он «менее рискованный». Такой вкладчик склонен забирать свой вклад в периоде T=1, предпочитая потратить деньги на текущее потребление. Однако вкладчик иного типа готов ждать до T=2 (при условии, что не боится за свои средства)^*. Как руководитель банка, вы хотите определить оптимальную инвестиционную стратегию при данных рисках.

А) Предположим, что депозиты вкладчиков d_i \ (d_1 \neq d_2), которые могут быть сняты. Изначально у банка находится в распоряжении сумма A, такая, что банк способен выдать только d_1. Определите условия, при которых банк может провести инвестиционную политику и не обанкротиться.

Б) Результат, полученный построением финансовой модели на основе данных условий и максимизации общей функции полезности по уровню потребления двух групп, привёл к следующему соотношению: \frac{u'(x_1)}{u'(x_2)} = R.

Используя данное соотношение и условия из пункта A), определите оптимальные d_1^* и d_2^*.

В) На основе условий прошлых пунктов и результатов, полученных Вами, объясните (интуитивно), почему данные значения являются оптимальными.

^* Вкладчик не боится банкротства банка, которое может случиться при большом набеге других вкладчиков в T=1.