Задачи такого рода необходимо решать с конца. То есть сначала промаксимизировать прибыль фирмы Топинамбур (в вычислениях обозначим как фирма 2 ), считая выпуск Груши (в вычислениях обозначим как фирма 1 ) фиксированным, а только после этого максимизировать прибыль фирмы Груша. Участник получает +1 балл, если верно указывает порядок максимизации (или же ходе решения максимизирует в верном порядке). Запишем функцию прибыли фирмы Топинамбур:

Pr_2 = (40 - q_1 - q_2)q_2 - 10q_2 = (30 - q_1 - q_2)q_2

q_2^{opt} = \begin{cases} \frac{30 - q_1}{2}, & q_1 < 30 \\ 0, & q_1 \geq 30 \end{cases}

При максимизации необходимо любым способом обосновать нахождение именно точки максимума. Можно воспользоваться таблицей монотонности, второй производной, или заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз. В итоге ставится +2 балла за полную и обоснованную максимизацию (по баллу снимается, если нет условий второго порядка, или не рассмотрен случай q_1\geq 30 ).

Теперь можно записать целевую функцию фирмы Груша, которая будет зависеть только от q_1 : Pr_1 = (40 - q_1 - q_2)q_1 = \begin{cases} (25 - 0.5q_1)q_1, & q_1 < 30 \\ (40 - q_1)q_1, & q_1 \geq 30 \end{cases}

Заметим, что обе функции являются параболами ветвями вниз, однако на втором участке вершина не достигается на ОДЗ. Таким образом максимальная прибыль на каждом участке выглядит как: Pr_1^{opt}=312,5 или 300.

Очевидно, что оптимум на первом участке, а значит q_1^{opt}=25.

При максимизации необходимо любым способом обосновать нахождение именно точки максимума. Можно воспользоваться таблицей монотонности, второй производной, или заметить, что целевая функция является параболой с ветвями вниз. При отсутствии второй части максимальный балл, который можно было получить за данную часть +1 балл (за верную и обоснованную оптимизацию). Еще +1 балл ставился за корректную оптимизацию на втором участке и +1 балл ставится сравнение прибыли на двух участках. После этого можно найти оптимальный выпуск фирмы Топинамбур и ее прибыль:

Тогда фирма Груша готова заплатить A<87,5 ( +1 балл), а Топинамбур согласится на сумму A>6,25 ( +1 балл).