1). Поскольку спрос и предложение задаются линейно, то кривая Лаффера в королевстве является параболой с ветвями вниз и выглядит следующим образом:

T = -\alpha t^2 + \beta t

За правильную формулу - 3 балла

Замечание: Данный вид кривой можно написать как сразу, исходя из предположений о линейности, так и вывести аналитически. А именно:

Q_d = a - bp \\ Q_s = c + d(p - t) \\ Q_s = Q_d \\ a - bp = c + d(p - t) \\ p^* = \frac{a - c}{b + d} + \frac{d}{b + d}t \\ Q^* = a - bp^* \\ Q^* = a - b\left(\frac{a - c}{b + d} + \frac{d}{b + d}t\right) \\ Q^* = \left(a - b\frac{a - c}{b + d}\right) + \left(b\frac{d}{b + d}\right)t \\ Q^* = \left(\frac{a(b + d) - b(a - c)}{b + d}\right) + \left(\frac{bd}{b + d}\right)t

Пусть \left[\frac{a - b\frac{a - c}{b + d}}{}\right] = \beta, а \left[\frac{b d}{b + d}\right] = \alpha.

К тому же стоит обратить внимание, что \alpha > 0 (за счёт того, что b>0 и d>0). Тогда:

Q^* = \beta - \alpha t \Rightarrow T = tQ^*

T = -\alpha t^2 + \beta t

2). Известно, что T(2)=T(4). Это означает, что:

-\alpha \cdot 2^2 + \beta \cdot 2 = -\alpha \cdot 4^2 + \beta \cdot 4 \\ -4\alpha + 2\beta = -16\alpha + 4\beta \\ 12\alpha = 2\beta \\ 6\alpha = \beta

За правильные расчёты - 2 балла

Таким образом, можем записать, что: T=- \alpha t^2+6 \alpha t.

3). Поскольку это парабола, направленная ветвями вниз, то мы можем определить её вершину:

t_{\text{верш}} = \frac{-6 \alpha}{2 \cdot (-\alpha)} = 3

Замечание: t=3 можно найти и с помощью того, что t=2 и t=4 находятся от вершины на равном расстоянии. То есть достаточно посчитать среднее между 2 и 4.

За правильные расчёты - 2 балла

4). Нам известно, что T_{\text{max}} = 300. К тому же:

T_{\text{max}} = T(t_{\text{верш}}) = - \alpha \cdot 3^2 + 6 \alpha \cdot 3 = -9 \alpha + 18 \alpha = 9 \alpha

Исходя из этого: 9 \alpha = 300 \Rightarrow \alpha = \frac{100}{3}, \beta = 200

5). Теперь мы можем вывести зависимость величины налоговых поступлений в бюджет от ставки налога:

9 \alpha = 300 \Rightarrow \alpha = \frac{100}{3}, \beta = 200

За правильные расчёты - 3 балла

Ответ:

T = - \frac{100}{3} t^2 + 200t