Студентка совместного бакалавриата ВШЭ и РЭШ Саша решила летом стажироваться менеджером проектов в небольшой консалтинговой компании. Каждый месяц она будет руководить одним проектом, выбирая уровень риска от 0 до 1. Для удобства обозначим x_1 — уровень риска для первого (июньского) проекта, x_2 — для второго (июльского), x_3 — для третьего (августовского).

Проект может оказаться удачным или неудачным. Если Саша выбрала уровень риска p, то с вероятностью p проект окажется неудачным. В этом случае Саша не получит бонус. При выбранном уровне риска p с вероятностью 1-p проект окажется удачным. Если проект i окажется удачным, то Саша в качестве получит бонус в размере 10\% от прибыли за проект, которую мы обозначим \pi_i. Прибыль июньского проекта \pi_1 = 240 \cdot (1 + a \cdot x_1) , июльского \pi_2 = 240 \cdot (1 + x_1 + 2 \cdot x_2) , а августовского \pi_3 = 320 \cdot \left(1 + x_1 + x_2 + 4 \cdot x_3\right) . Учтите, что \alpha>0 — это параметр.

Саша максимизирует ожидаемый бонус за всё время работы.

Примечание. Если проект приносит прибыль S с вероятностью p и сумму 0 с вероятностью (p-1), то ожидаемая прибыль проекта равна p*S.

а) Объясните интуитивно связь между выбранными значениями риска в различных периодах и прибылью в случае успеха.

б) Допустим у Саши есть планы на июль и август, поэтому она сможет взять только июньский проект. В зависимости от значения параметра \alpha>0 укажите, какое значение риска x_1 выберет Саша? Какие оптимальные значения x_1 в принципе возможны?

в) Объясните интуитивно зависимость оптимального уровня риска от параметра \alpha. Что означает параметр \alpha ?

г) Пусть \alpha=2. Какие уровни риска в каждом месяце выберет Саша? Считайте, что Саша стремится сделать максимальной сумму ожидаемых бонусов за всё лето.

Подсказка. Вам не требуется знание максимизации функций нескольких переменных. Используйте школьные знания из курса математики.

д) Как соотносятся между собой выбранные Сашей значения рисков в различных периодах? Объясните это соотношение интуитивно.

е) Используя обнаруженную Вами закономерность, объясните известный Вам феномен из реальной жизни.