Стройка
В городе N группа приглашённых экспертов выбирала место для строительства здания филиала Национальной школы экономики. Процедура была следующая: каждый из экспертов мог распределить ровно 7 баллов между четырьмя местами: на берегу реки (Р), на возвышенности (В), в жилом квартале (К) или в промышленной зоне (П). Чтобы меньше возникало неоднозначных результатов, каждый из экспертов мог ставить предполагаемым местам строительства "Р", "В", "К" и "П" только попарно различное (т. е. все четыре числа должны быть различными) целое неотрицательное количество баллов. Побеждало место, набравшее наибольшее суммарное количество баллов.
После подведения итогов выяснилось, что победило место у реки, а меньше всех набрало место в промышленной зоне. Эксперты разъехались, но тут организаторы обнаружили, что недавно местный парламент издал закон: в промышленных зонах учебные заведения строить нельзя, и в список возможных мест её вносить не имели права. Чтобы формально соблюсти закон, из всех результатов убрали место "П", а все проставленные экспертами положительные баллы уменьшили на один, так как на меньшее количество мест полагалось бы меньше баллов.
Например, пусть эксперт М. расставил баллы следующим образом: за "Р"-2, за "В"-4, за "К"-0 и за "П"-1. Тогда после пересмотра результаты его оценок будут следующие: за "Р"-1, за "В"-3, за "К"-0. После нового подведения итогов оказалось, что ранее побеждавшее место у реки теперь на последнем по рейтингу месте — набрало меньше всех баллов.
- Могло ли такое быть, если экспертов было пятеро?
- Могла ли сложиться такая ситуация, если экспертов было более пяти человек?
- Какое минимальное количество экспертов могло быть, чтобы сложилась подобная ситуация?
1) Да, такое могло быть.
После пересчёта получаем:
2) Да, такое могло быть. Для примера достаточно удвоить уже готовую таблицу, полученную в пункте 1.
3) По условию имеем Р_0>К_0 и Р_1 <К_1. Пусть Р изменилось на какую-то величину x, а К — на y. Из данных условий получаем:
1) Р_0- К_0\geq 1
2) Р_1- К_1\leq 1
3) Из 1) получаем Р_0-x- К_0+y \geq 1-x+y
4) Из 2) и 3) получаем -1\geq Р_1-К-1 \geq 1-x+y
Значит, x-y\geq 2. Заметим, что число, на которое изменяется оценка определённого места, равно x=n-i, где n – количество экспертов, а i – количество нулей, которые поставили данному месту. Полученное нами неравенство означает, что К поставили хотя бы на 2 нуля больше, чем Р. Рассмотрев В вместо К, получим то же неравенство. Значит, нулей было хотя бы 4. Каждый эксперт ставил ровно 1 ноль, значит и экспертов было хотя бы 4. Пусть их было ровно 4. Тогда у В и К стояло ровно по 2 нуля. Таким образом, выполняются равенства В=К=Р-1. Всего сумма баллов равна 28, у Р больше всех, тогда у Р было хотя бы 8 баллов. Разберём случаи:
- Пусть у Р ровно 8 баллов. Тогда у В и К их по 7. Но 7 невозможно набрать двумя числами, среди которых могут быть только 1, 2 и 4. Противоречие.
- Пусть у Р ровно 9 баллов. Тогда у В и К их по 8. Тогда оценки В и К выглядят как набор 0, 0, 4, 4 (по-другому невозможно выбрать из чисел 1, 2, 4 два числа так, чтобы они в сумме давали 8 ) Тогда заметим, что максимальное значение Р может быть равно 2+2+2+2=8. Противоречие.
- Пусть у Р хотя бы 10 баллов. Тогда у В и К должно быть хотя бы по 9 баллов, но это невозможно набрать двумя числами, выбирая из имеющихся 1, 2, 4. Противоречие.
Тогда минимальное количество экспертов – 5. Пример приведён в пункте 1.