Пусть функция спроса имеет вид: Q=a-bP \ (a,\ b>0). Обратная функция спроса: P=\frac{a-Q}{b}. Выручка RR=PQ=\frac{aQ-Q^2}{b}.

Эластичность выручки по объему спроса \varepsilon_{R, Q} = (R)' \frac{Q}{R} = \frac{a - 2Q}{b} \times \frac{bQ}{aQ - Q^2} = \frac{a - 2Q}{a - Q}.

Эластичность объема спроса по цене \varepsilon_{Q, P} =\frac{Q-a}{Q}.

Если \varepsilon_{R, Q} =\varepsilon_{Q, P} , то \frac{a-2Q}{a-Q} = \frac{Q-a}{Q} \quad (1).

По условию задачи в случае, если \varepsilon_{R, Q} =\varepsilon_{Q, P} , прибыль равна нулю.

Прибыль \pi = R - TC = \frac{aQ - Q^2}{b} - Q * 1 = 0. \quad a - Q - b = 0. \quad Q = a - b.

Подставляя это выражение для Q в (1), получаем: \frac{a - 2(a - b)}{a - (a - b)} = \frac{a - b - a}{a - b}. \quad \frac{-a + 2b}{b} = \frac{-b}{a - b}.

(-a + 2b)(a - b) = -b^2. \quad a^2 - 3ab + b^2 = 0. \quad a_{1,2} = \frac{+3b \pm \sqrt{9b^2 - 4b^2}}{2} = \frac{+3b \pm b\sqrt{5}}{2} = b\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. \quad a_1 = b\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad a_2 = b\frac{3 - \sqrt{5}}{2}.

Как мы уже отмечали, эластичность объема спроса по цене \varepsilon_{Q, P} = \frac{Q - a}{Q}. Эластичность цены по объему спроса – величина обратная, т.е. \varepsilon_{P,Q} = \frac{Q }{Q-a}.

Если \varepsilon_{Q, P}=\varepsilon_{P,Q} то \frac{Q-a}{Q} = \frac{Q}{Q-a}. \quad (Q-a)^2 = Q^2.\quad Q^2 - 2aQ + a^2 = Q^2. \quad Q = 0.5a \quad (2).

По условию задачи в случае, если \varepsilon_{Q,P}=\varepsilon_{P,Q}, то прибыль равна 1000. \pi = R - TC = \frac{aQ - Q^2}{b} - Q *1 = 1000.

Подставляя (2) в это выражение для прибыли, получаем: \frac{0.5a^2 - 0.25a^2}{b} - 0.5a = 1000.\quad \frac{0.25a^2}{b} - 0.5a = 1000 \quad (3).

Подставим сначала в (3) значение a_1 = b \frac{3 + \sqrt{5}}{2}.

0.25b \frac{(3 + \sqrt{5})^2}{4} - 0.5b \frac{3 + \sqrt{5}}{2} =1000. \quad b(3 + \sqrt{5})^2 - 4b(3 + \sqrt{5}) = 16000. \quad b(2 + 2\sqrt{5}) = 16000. \quad b = \frac{8000}{1 + \sqrt{5}}.

Подставим в (3) значение a_2 = b \frac{3 - \sqrt{5}}{2}.

b(3 - \sqrt{5})^2 - 4b(3 - \sqrt{5}) = 16000. \quad b(2 - 2\sqrt{5}) = 16000. \quad b = \frac{8000}{1 - \sqrt{5}} < 0.Это противоречит принятому нами условию, согласно которому b>0. Поэтому принимаем для b предыдущее значение, которое соответствует a_1, т.е. b = \frac{8000}{1 + \sqrt{5}}.

a = b\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{8000}{1 + \sqrt{5}} \times \frac{3 + \sqrt{5}}{2} = \frac{4000(3 + \sqrt{5})}{1 + \sqrt{5}} = \frac{4000(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})}{(1 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} = \frac{8000}{\sqrt{5} - 1}.

Теперь определим, при каком значении Q достигается максимальная прибыль. \pi_{max} достигается при условии: \pi'=0.

Для нашего монополиста \pi = R - TC = \frac{aQ - Q^2}{b} - Q \cdot 1 = 0.

\pi' = \frac{a - 2Q}{b} - 1 = 0. \quad a - 2Q - b = 0. \quad Q = 0,5(a - b) = 0,5\left(\frac{8000}{\sqrt{5} - 1} - \frac{8000}{1 + \sqrt{5}}\right) = 0,5\frac{8000(\sqrt{5} + 1) - 8000(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = 0,5\frac{16000}{5 - 1} = 2000.

Ответ. Максимальная прибыль достигается при Q=2000.