Страхование
Автовладелец Геннадий решил воспользоваться услугами компании «ЗастрахуемНестрахуемое». Компания предлагает заплатить за страховку некоторую сумму денег (которое выбирает страховая) и обязуется в случае наступления аварии вернуть в b раз большую сумму (т.е. за каждый уплаченный рубль компания выплачивает b рублей в случае аварии). Геннадий и компания знают, что с вероятностью 0,2 Геннадий попадает в легкую аварию с ущербом L_1=25 тыс. рублей, а с вероятностью 0,1 в тяжелую аварию с ущербом L_2=100 тыс. рублей. Функция ожидаемой полезности Геннадия выражается как U=-60I-0,2(L_1-S_1)^2-0,1(L_2-S_2)^2, где S_1, S_2 - выплаты страховой, в случае легкой и тяжелой аварий соответственно, I - деньги потраченные на страховку. Страховая максимизирует прибыль учитывая ожидаемые издержки TC=0,2S_1+0,1S_2. При выборе b «ЗастрахуемНестрахуемое» учитывает реакцию Геннадия на выбранное ими значение. Всего в этой фирме страхуются 89 одинаковых Геннадиев.
a) Найдите оптимальное значение b, которое выберет фирма. Посчитайте её ожидаемую прибыль. В ответ впишите значение b
Поскольку за страховку платится единственная сумма x, а в обоих случаях компания выплачивает в b раз больше, то выплаты равны, т.е.
S_1 = S_2 \Rightarrow I = x \implies S_1 = S_2 = b x.
Так как мы знаем из условия, что сама страховая выбирает контракт для Геннадия, то заметим, что: P_{\text{страховой}} = x - 0{,}3 S_2 = x - 0{,}3 b x. Очевидно, что чем больше x, тем больше P_{\text{страховой}}, но тем меньше U_{\text{Геннадия}}. Тогда компания выберет такой x, чтобыU_{\text{Геннадия}} = U_{\text{без страховки}}.
-60x - 0{,}2 \left( 25 - b x \right)^2 - 0{,}1 \left( 100 - b x \right)^2 = -0{,}2 \cdot 25^2 - 0{,}1 \cdot 100^2
-60x + 10b x - 0{,}2 (b x)^2 + 20b x - 0{,}1 (b x)^2 = 0 \quad | : x, \, \text{где } x \neq 0
-60 + 30b - 0{,}3 b^2 x = 0
x = \frac{100}{b} - \frac{200}{b^2}
P = 89 \cdot \left( \frac{100}{b} - \frac{200}{b^2} - 0.3 \cdot (100) + 0.3 \cdot \left( \frac{200}{b} \right) \right) = \left( \frac{160}{b} - \frac{200}{b^2} - 30 \right) \cdot 89 P= 89 \cdot \left( 160t - 200t^2 - 30 \right) \to \max по t
P' = 160 - 400t = 0.
t = \frac{2}{5} \implies b = 2,5.
P=89*2=178
Ответ: P=178
b) Пусть теперь государство ввело программу по поддержке страховых компаний и выплачивает им субсидию в виде 5\% от их выручки (суммы на которую застраховалось население). То есть если Геннадий застрахуется на 1000 рублей, то государство выплатит страховой субсидию в 50 рублей. Однако чтобы вступить в эту программу, страховая должна назначить разные ставки b при разных типах аварии. Руководство «ЗастрахуемНестрахуемое» решило, что в случае тяжелой аварии ставка выплат будет в 1,5 раза больше, чем в случае легкой. Найдите новые оптимальные ставки (b_1, b_2) в случае легкой и тяжелой аварий соответственно. В ответ укажите их сумму
Делаем аналогичное утверждение про U_{\text{Геннадия}}
I = x \\ S_1 = b_1 x \\ S_2 = 1,5 \, b_1 x \\U = -60x - 0,2 (25 - b_1 x)^2 - 0,1 (100 - 1,5 b_1 x)^2 = -0,2 \cdot 25^2 - 0,1 \cdot 100^2
-60x + 10b_1x - 0,2(b_1x)^2 + 30b_1x - 0,225(b_1x)^2 = 0 \quad |:x \\ -60 + 40b_1 - 0,425b_1^2 = 0.
x = \frac{40}{0,445b_1} - \frac{60}{0,445b_1^2}.
P= \left(1,05x - 0,2 \cdot b_1 - 0,1 \cdot 1,5b_1\right) \cdot 0,89 = \frac{12600}{b_1} - 2800 - \frac{12600}{b_1^2}.
b_1=1/t P= \frac{12600}{t_1} - 2800 - \frac{12600}{t_1^2} \rightarrow \max по t_1
\Pi' = 12600 - 12600 \cdot 2t = 0, \\ t = \frac{1}{2} \implies b_1 = 2, \ b_2 = 3.
P=350
Ответ: b_1 = 2, \ b_2 = 3
c) Сравните прибыли компании в двух пунктах. Почему компании может быть выгодно ввести две ставки вместо одной даже в отсутствии гос. программы (Ответьте на этот вопрос анализируя различия в ставках в пунктах a) и b), пренебрегая тем, что в отсутствии гос. программы они немного изменятся).
P_2>P_1
Интуиция: в более вероятном исходе (1 -м) мы уменьшаем выплаты по сравнению с пунктом а). При этом, увеличение выплат в менее вероятном исходе хоть и влияет на P страховой в худшую для неё сторону, однако несильно. И помимо этого, стимулируя Геннадия больше сберегать, что увеличивает P страховой. Таким образом, общие выгоды от данной меры и приводят к увеличению P.