Ответ: 400.

Решение:

Для ответа на вопрос осталось рассмотреть только участок, когда цена меньше или равна 100, так как тогда все три группы слушателей будут покупать диск.

0\leq P\leq 100 – все «фанаты» покупают продукт, «активные меломаны» покупают продукт в объёме Q_d^a=1 \ 000 \ 000-5000P, «новые поклонники» покупают продукт в объёме Q_d^n=(n-700 \ 000)-7000P. Выразим число n через цену (количество «фанатов» и «активных меломанов»):

n=200 \ 000+1 \ 000 \ 000-500P=1 \ 200 \ 000-500P

Тогда спрос «новых поклонников» имеет вид: Q_d^n=(1 \ 200 \ 000-5000P- 700 \ 000)-7000P=500 \ 000-12000P

Значит, «новые поклонники» будут покупать только при цене P\leq 500/12

Уравнение выручки примет вид (для трёх групп потребителей):

TR=200 \ 000P+P*(1 \ 000 \ 000-5000P)+P*((500 \ 000-5000P)-7000P)

TR=P*(1 \ 200 \ 000-5000P)+P*(500 \ 000-12000P)

TR=P*(1 \ 700 \ 000-17000P)

Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке

P^* = \frac{-1\,700\,000}{2 \cdot (-17\,000)} = 50 > \frac{500}{12}

Следовательно, оптимум на данном участке достигается в 500/12. Заметим, что при цене равной 500/12 «новые поклонники» предъявляют нулевой спрос, а значит музыканту будет выгодно остаться в случае, когда покупают только «фанаты» и «активные меломаны», который в свою очередь менее выгодный, чем случай покупки только «фанатами».

Таким образом, оптимальное решение достигается при цене продукта D, равной 400 долларов.

За верный ответ – 8 баллов.