Задание 8-10. МЭ ВСоШ 2024 (10 класс)
Музыкант MB выпускает на рынок новый диск D. Целевая аудитория диска D состоит из трёх сегментов:
1. 200 тысяч «фанатов», которые приобретут диск D при любой цене до 400 долларов включительно.
2. 1000 тысяч «активных меломанов», совокупный спрос которых на диск D зависит только от его цены и выражается функцией Q_D=1 \ 000 \ 000-5000P, где P – цена диска D в долларах.
3. Неограниченное число «новых поклонников», которые готовы приобретать диск D, если он наберёт значительную популярность. Совокупный спрос «новых поклонников» на диск D зависит от его цены и от количества слушателей, которые до этого приобрели диск, и выражается функцией Q_d=(n-700 \ 000)-7000P, где n – количество «фанатов» и «активных меломанов», которые приобрели диск D, n\geq 700 \ 000.
Музыкант MB не имеет возможности дискриминировать своих покупателей, иначе говоря, может назначить лишь одну цену на диск D.
1) Определите максимум выручки, если музыкант назначил такую цену, что диск покупают только «фанаты». Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: 80.
Решение:
«Активные меломаны» приобретают продукт при цене от 0 до 1 \ 000 \ 000/5000=200
Для того чтобы «новые поклонники» начали присоединяться к продукту, по крайней мере 500 \ 000 «активных меломанов» должны приобрести продукт (поскольку «фанаты» точно приобретут, а для входа «новых поклонников» нужно набрать не менее 0,7 миллиона слушателей в первых двух группах). Это случится при цене от 0 до \frac{1 \ 000 \ 000-500 \ 000}{5000}=100 Таким образом, при P>400 – «фанаты» (из условия) и «активные меломаны» (из отрицательного спроса) не приобретают продукт; следовательно, и «новые поклонники» продукт не приобретают. На данном отрезке величина спроса нулевая, выручка отсутствует.
Если цена лежит на интервале 200<P\leq 400 – все «фанаты» покупают продукт, активные меломаны» не покупают (из отрицательности спроса).
«Новые поклонники» не покупают, так как не набралось достаточного числа слушателей. Максимум выручки достигается при цене 400 и равен 80 млн долларов.
За верный ответ – 8 баллов.
2) Определите максимум выручки, если музыкант назначил такую цену, что диск покупают и «фанаты», и «активные меломаны» («новые поклонники» не покупают). Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: 72.
Решение:
Из решения задания 1) мы знаем, что если цена больше 200, то «активные меломаны» не покупают, а при цене больше 100 не покупают «новые поклонники», поэтому рассмотрим интервал цены 100<P\leq 200 – все «фанаты» покупают продукт, «активные меломаны» покупают продукт в объеме Q_d=1 \ 000 \ 000-500 \ 000P ; при этом общего числа пользователей недостаточно для подключения «новых поклонников». Найдём максимум выручки:
TR = P \cdot (1\,000\,000 - 5\,000P) + 200\,000P \to \max \\ TR = P \cdot (1\,200\,000 - 5\,000P)
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
P^* = \frac{1\,200\,000}{2 \cdot 5\,000} = 120
Точка лежит на участке (100;200], следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
TR=120*(1 \ 200 \ 000-5000*120)=120*600 \ 000=72 \ 000 \ 000
Наибольшая выручка на этом участке – 72 млн долларов.
За верный ответ – 8 баллов.
3) Определите, какую цену в долларах следует назначить музыканту, чтобы максимизировать выручку от диска D.
Ответ: 400.
Решение:
Для ответа на вопрос осталось рассмотреть только участок, когда цена меньше или равна 100, так как тогда все три группы слушателей будут покупать диск.
0\leq P\leq 100 – все «фанаты» покупают продукт, «активные меломаны» покупают продукт в объёме Q_d^a=1 \ 000 \ 000-5000P, «новые поклонники» покупают продукт в объёме Q_d^n=(n-700 \ 000)-7000P. Выразим число n через цену (количество «фанатов» и «активных меломанов»):
n=200 \ 000+1 \ 000 \ 000-500P=1 \ 200 \ 000-500P
Тогда спрос «новых поклонников» имеет вид: Q_d^n=(1 \ 200 \ 000-5000P- 700 \ 000)-7000P=500 \ 000-12000P
Значит, «новые поклонники» будут покупать только при цене P\leq 500/12
Уравнение выручки примет вид (для трёх групп потребителей):
TR=200 \ 000P+P*(1 \ 000 \ 000-5000P)+P*((500 \ 000-5000P)-7000P)
TR=P*(1 \ 200 \ 000-5000P)+P*(500 \ 000-12000P)
TR=P*(1 \ 700 \ 000-17000P)
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
P^* = \frac{-1\,700\,000}{2 \cdot (-17\,000)} = 50 > \frac{500}{12}
Следовательно, оптимум на данном участке достигается в 500/12. Заметим, что при цене равной 500/12 «новые поклонники» предъявляют нулевой спрос, а значит музыканту будет выгодно остаться в случае, когда покупают только «фанаты» и «активные меломаны», который в свою очередь менее выгодный, чем случай покупки только «фанатами».
Таким образом, оптимальное решение достигается при цене продукта D, равной 400 долларов.
За верный ответ – 8 баллов.