Задание 8-10. МЭ ВСоШ 2024 (10 класс)
Музыкант выпускает на рынок новый диск . Целевая аудитория диска состоит из трёх сегментов:
тысяч «фанатов», которые приобретут диск при любой цене до долларов включительно.
тысяч «активных меломанов», совокупный спрос которых на диск зависит только от его цены и выражается функцией , где – цена диска в долларах.
Неограниченное число «новых поклонников», которые готовы приобретать диск , если он наберёт значительную популярность. Совокупный спрос «новых поклонников» на диск зависит от его цены и от количества слушателей, которые до этого приобрели диск, и выражается функцией , где – количество «фанатов» и «активных меломанов», которые приобрели диск , .
Музыкант не имеет возможности дискриминировать своих покупателей, иначе говоря, может назначить лишь одну цену на диск .
Определите максимум выручки, если музыкант назначил такую цену, что диск покупают только «фанаты». Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: .
Решение:
«Активные меломаны» приобретают продукт при цене от до
Для того чтобы «новые поклонники» начали присоединяться к продукту, по крайней мере «активных меломанов» должны приобрести продукт (поскольку «фанаты» точно приобретут, а для входа «новых поклонников» нужно набрать не менее миллиона слушателей в первых двух группах). Это случится при цене от до Таким образом, при – «фанаты» (из условия) и «активные меломаны» (из отрицательного спроса) не приобретают продукт; следовательно, и «новые поклонники» продукт не приобретают. На данном отрезке величина спроса нулевая, выручка отсутствует.
Если цена лежит на интервале – все «фанаты» покупают продукт, активные меломаны» не покупают (из отрицательности спроса).
«Новые поклонники» не покупают, так как не набралось достаточного числа слушателей. Максимум выручки достигается при цене и равен млн долларов.
За верный ответ – баллов.
Определите максимум выручки, если музыкант назначил такую цену, что диск покупают и «фанаты», и «активные меломаны» («новые поклонники» не покупают). Ответ дайте в млн долларов.
Ответ: .
Решение:
Из решения задания мы знаем, что если цена больше , то «активные меломаны» не покупают, а при цене больше не покупают «новые поклонники», поэтому рассмотрим интервал цены – все «фанаты» покупают продукт, «активные меломаны» покупают продукт в объеме ; при этом общего числа пользователей недостаточно для подключения «новых поклонников». Найдём максимум выручки:
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
Точка лежит на участке , следовательно, оптимум на данном участке достигается в ней и равен
Наибольшая выручка на этом участке – млн долларов.
За верный ответ – баллов.
Определите, какую цену в долларах следует назначить музыканту, чтобы максимизировать выручку от диска .
Ответ: .
Решение:
Для ответа на вопрос осталось рассмотреть только участок, когда цена меньше или равна , так как тогда все три группы слушателей будут покупать диск.
– все «фанаты» покупают продукт, «активные меломаны» покупают продукт в объёме , «новые поклонники» покупают продукт в объёме . Выразим число через цену (количество «фанатов» и «активных меломанов»):
Тогда спрос «новых поклонников» имеет вид:
Значит, «новые поклонники» будут покупать только при цене
Уравнение выручки примет вид (для трёх групп потребителей):
Выражение выше представляет собой квадратичную функцию с ветвями вниз, наибольшее значение достигается в точке
Следовательно, оптимум на данном участке достигается в . Заметим, что при цене равной «новые поклонники» предъявляют нулевой спрос, а значит музыканту будет выгодно остаться в случае, когда покупают только «фанаты» и «активные меломаны», который в свою очередь менее выгодный, чем случай покупки только «фанатами».
Таким образом, оптимальное решение достигается при цене продукта , равной долларов.
За верный ответ – баллов.