Ятсан
Фирма «Ятсан», которая всегда максимизирует свою прибыль – разницу между полученной выручкой и издержками, продаёт свою продукцию одним из двух вариантов:
1. Фирме «Тамло», которая за каждую проданную единицу готова заплатить P=120-Q денежных единиц, где Q - количество проданной продукции.
2. Фирме «Абёчу», которая за каждую проданную единицу готова заплатить X денежных единиц, независимо от купленного количества и готова купить любое предложенное количество.
Издержки фирмы задаются функцией TC=Q^2, а «Ятсан» может воспользоваться только одним вариантом продажи. Правитель страны решил ввести потоварный налог на фирму по ставке t за каждую проданную единицу продукции.
а) Найдите, какой выпуск выберет фирма «Ятсан» в зависимости от ставки потоварного налога t и значения X.
б) При всех значениях X найдите ставку налога t, которая будет максимизировать налоговые сборы правителя.
a) Если продаем фирме «Тамло»:
\pi_1 = (120 - Q)Q - Q^2 - tQ \rightarrow \max Q \geq 0
Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:
Q^* = \frac{120 - t}{4} \quad \pi = \frac{(120 - t)^2}{8}
Если продаем фирме «Абёчу»:
\pi_2 = XQ - Q^2 - tQ \to \max Q \geq 0
Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:
Q^* = \frac{X - t}{2} \quad \pi = \frac{(X - t)^2}{4}
Сравним прибыли:
\frac{(120 - t)^2}{8} \geq \frac{(X - t)^2}{4} \iff t \geq \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}
А теперь накладываем ограничения:
1) Если X < \frac{120}{\sqrt{2}} = 60\sqrt{2} , то при всех t\leq 120 нам всегда выгодно выбрать первый вариант.
2) Если \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} > 120 , то есть X>120, то при всех t\leq X мы выбираем второй вариант.
Оптимальный выпуск:
Случай 1 : X<60\sqrt 2. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \leq 120 \end{cases}
Случай 2 : X\in[60\sqrt 2;120]. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \in \left[ \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}, 120 \right] \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} \end{cases}
Случай 3 : X>120. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > X \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t \leq X \end{cases}
б) Рассмотрим, что будем делать в каждом случае:
Случай 1 : X<60\sqrt 2. Тогда:
Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \leq 120 \end{cases}
Tx = \frac{120t - t^2}{4} \to \max t \leq 120
Получим оптимальный t=60.
Случай 2 : X\in[60\sqrt 2;120]. Тогда:
Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \in \left[ \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}, 120 \right] \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} \end{cases}
Если промаксимизируем налоговые сборы на втором участке, то t^*=60. Проверяем ограничения:
60 \geq \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}
X \leq \frac{60\sqrt{2} + 60}{\sqrt{2}} = 60 + 30\sqrt{2}
Если промаксимизируем налоговые сборы на третьем участке, то t^*=X/2. А что там с ограничениями?
\frac{X}{2} < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}
X > \frac{120}{\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} = \frac{240}{\sqrt{2} + 1}
Теперь рассмотрим промежуток между: X \in \left[ \frac{240}{\sqrt{2} + 1}; 60 + 30\sqrt{2} \right] . На обоих участках ограничения выполнены, значит нам надо сравнить налоговые сборы:
\frac{X^2}{4} \geq 900 \quad X \geq 60
Это выполнено всегда, поэтому выбираем X/2.
Случай 3 : X>120. Тогда:
Q(t) = \begin{cases} 0 & \text{если } t > X \\ \frac{X - t}{2} & \text{если } t \leq X \end{cases}
Tx = \frac{Xt - t^2}{2} \implies t^* = \frac{X}{2} \leq X
Итоговый ответ: t^* = \begin{cases} 60, & \text{если } X < \frac{240}{\sqrt{2} + 1} \\ \frac{X}{2}, & \text{если } X \geq \frac{240}{\sqrt{2} + 1} \end{cases}