a) Если продаем фирме «Тамло»:

\pi_1 = (120 - Q)Q - Q^2 - tQ \rightarrow \max Q \geq 0

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

Q^* = \frac{120 - t}{4} \quad \pi = \frac{(120 - t)^2}{8}

Если продаем фирме «Абёчу»:

\pi_2 = XQ - Q^2 - tQ \to \max Q \geq 0

Это парабола ветвями вниз, максимум в вершине:

Q^* = \frac{X - t}{2} \quad \pi = \frac{(X - t)^2}{4}

Сравним прибыли:

\frac{(120 - t)^2}{8} \geq \frac{(X - t)^2}{4} \iff t \geq \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}

А теперь накладываем ограничения:

1) Если X < \frac{120}{\sqrt{2}} = 60\sqrt{2} , то при всех t\leq 120 нам всегда выгодно выбрать первый вариант.

2) Если \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} > 120 , то есть X>120, то при всех t\leq X мы выбираем второй вариант.

Оптимальный выпуск:

Случай 1 : X<60\sqrt 2. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \leq 120 \end{cases}

Случай 2 : X\in[60\sqrt 2;120]. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \in \left[ \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}, 120 \right] \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} \end{cases}

Случай 3 : X>120. Тогда: Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > X \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t \leq X \end{cases}

б) Рассмотрим, что будем делать в каждом случае:

Случай 1 : X<60\sqrt 2. Тогда:

Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \leq 120 \end{cases}

Tx = \frac{120t - t^2}{4} \to \max t \leq 120

Получим оптимальный t=60.

Случай 2 : X\in[60\sqrt 2;120]. Тогда:

Q(t) = \begin{cases} 0, & \text{если } t > 120 \\ \frac{120 - t}{4}, & \text{если } t \in \left[ \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}, 120 \right] \\ \frac{X - t}{2}, & \text{если } t < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1} \end{cases}

Если промаксимизируем налоговые сборы на втором участке, то t^*=60. Проверяем ограничения:

60 \geq \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}

X \leq \frac{60\sqrt{2} + 60}{\sqrt{2}} = 60 + 30\sqrt{2}

Если промаксимизируем налоговые сборы на третьем участке, то t^*=X/2. А что там с ограничениями?

\frac{X}{2} < \frac{\sqrt{2}X - 120}{\sqrt{2} - 1}

X > \frac{120}{\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} = \frac{240}{\sqrt{2} + 1}

Теперь рассмотрим промежуток между: X \in \left[ \frac{240}{\sqrt{2} + 1}; 60 + 30\sqrt{2} \right] . На обоих участках ограничения выполнены, значит нам надо сравнить налоговые сборы:

\frac{X^2}{4} \geq 900 \quad X \geq 60

Это выполнено всегда, поэтому выбираем X/2.

Случай 3 : X>120. Тогда:

Q(t) = \begin{cases} 0 & \text{если } t > X \\ \frac{X - t}{2} & \text{если } t \leq X \end{cases}

Tx = \frac{Xt - t^2}{2} \implies t^* = \frac{X}{2} \leq X

Итоговый ответ: t^* = \begin{cases} 60, & \text{если } X < \frac{240}{\sqrt{2} + 1} \\ \frac{X}{2}, & \text{если } X \geq \frac{240}{\sqrt{2} + 1} \end{cases}