Классика
На совершенно конкурентном рынке в краткосрочном периоде спрос представлен функцией Q^d=200-5P, а предложение предъявляют 80 одинаковых фирм с издержками TC_i=2q_i^2+10q_i+2021, где q_i – выпуск отдельной фирмы.
а) ( 6 баллов) Найдите равновесную цену, объем продаж и прибыль каждой фирмы на рынке.
б) ( 14 баллов) Государство ввело налог на выручку производителей: каждая фирма обязана заплатить долю tt от получаемой выручки в виде налога. Найдите ставку налога, при которой государство получает максимальные налоговые сборы.
в) ( 10 баллов) Найдите ставку налога, при которой суммарные излишки потребителей и производителей будут равны.
а) Выведем предложение. Поскольку рынок является совершенно конкурентным, приравняем P (цену) и MC (предельные издержки).
MC=4q+10=P
q=(P-10)/4
Получили предложение одной фирмы, тогда совокупное предложение на рынке составит:
Q_S=80q=20P-200
Теперь найдем равновесие, приравняв спрос и предложение:
20P-200=200-5P
P^*=16, Q^*=120, q^*=1,5
Осталось найти прибыль одной фирмы.
\Pi = TR - TC = P^* \cdot q^* - 2(q^*)^2 - 10q^* - 2021 = 16 \cdot 1{,}5 - 2 \cdot (1{,}5)^2 - 10 \cdot 1{,}5 - 2021 = -2016{,}5
б) Заметим, что налог на выручку полностью эквивалентен акцизу.
Действительно, TR_s = P_s Q = (1 - t) TR_d = (1 - t) P_d Q, тогда P_s=(1-t)P_d или P_d-P_s=tP_d.
Итак, мы поняли, что налог на выручку – это то же самое, что акциз. Далее, из эквивалентности налогов, максимальные налоговые сборы достигаются при единственных значениях P_d и P_s s. Тогда найдем эти значения через потоварный налог.
Мы знаем, что оптимум потоварного налога: t_p = \frac{P_{\text{max}} - P_{\text{min}}}{2} = \frac{40 - 10}{2} = 15. Введем данный потоварный налог для нахождения P_d и P_s :
200 - 5(P_s + 15) = 20P_s - 200
325 = 25P_s
P_s = 13, \quad P_d = 28
Теперь связка для акциза: P_d-P_s=t_aP_d или 15=28t_a, тогда t_a=15/28.
в) Будем действовать аналогично. Будем вводить потоварный налог, а из него восстанавливать величину акциза, которая равна налогу на выручку. Пусть t – потоварный налог.
200 - 5P_d = 20(P_d - t) - 200
P_d = 16 + 0.8t \quad P_s = 16 - 0.2t
Тогда посчитаем зависимость излишков от величины t :
CS = 1.6(30 - t)^2
PS = 0.4(30 - t)^2
Заметим, что ставка потоварного налога, при котором достигается равенство не меньше 30. Тогда
P_d-P_s=30=40t_a
t_a=0,75
Тогда ответ: t_a\geq 0,75