а) Обозначим количество станков типа А за a, а количество станков типа B за b. Тогда издержки фирмы равны 100a+90b, а выпуск равен 100a+80b.

Таким образом, фирма минимизирует значение выражения 100a+90b, выбирая любые неотрицательные a и b, удовлетворяющие условию 100a+80b=Q. Выражая 100a из условия и подставляя в формулу для издержек, получаем, что издержки равны (Q−80b)+90b=Q+10b. Эта функция возрастает по b, поэтому фирме следует выбрать минимально возможное значение b, то есть 0.

Следовательно, при любом Q фирме оптимально арендовать 0 станков типа B и Q/100 станков типа А.

Можно было также заметить (второй способ решения), что при использовании станка типа А расходы на единицу продукции равны 1 ден. ед., а при использовании станка типа B — 9/8 ден. ед., и поэтому оптимальным является использование только станков типа А.

б) 170 единиц можно произвести тремя способами: (1) Арендовать 2 станка типа А; (2) арендовать 1 станок типа А и 1 станок типа B; (3) арендовать 3 станка типа B. Издержки для этих трех способов равны 200, 190, и 270 соответственно; следовательно, оптимальным является способ (2).

240 единиц можно произвести четырьмя способами: (1) Арендовать 3 станка типа А; (2) арендовать 2 станка типа А и 1 типа B; (3) арендовать 1 станок типа А и 2 типа Б; (4) арендовать 3 станка типа B. Издержки будут равны 300, 290, 280, и 270 единиц соответственно. Следовательно, оптимальным является способ (4).

в) Нет, неверно. Рассмотрим Q=240. В пункте (а) оптимальной является аренда 2,4 станков типа А и 0 станков типа B. C учетом же целочисленности в (б) мы получили, что оптимальной является аренда 0 станков типа А и 3 станков типа B, но 0 не является одним из двух целых чисел, ближайших к 2,4.

Примечание: для Q=240 ответ в условиях целочисленности не только не является одним из ближайших к ответу без ограничения на целочисленность, но и является диаметрально противоположным: если без ограничения на целочисленность нужно арендовать только станки типа А, то с ограничением — только станки типа B. Данная задача (с ограничением на целочисленность) является частным случаем задачи о рюкзаке(См., например, https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D...), с различными вариациями которой можно встретиться в самых разных областях экономики.