Время составлять задачки
Двум составителям заданий олимпиады «Верная победа» (которую сокращенно называют ВП) — Александру и Максиму — необходимо составить некоторое количество задачек для этой олимпиады.
Александр, который параллельно пишет дипломную работу, на составление одной хорошей задачи для ВП тратит 5 часов, а Максим, который занят несколько меньше, — всего 3 часа.
Максим и Александр работают в команде и стремятся распределить работу так, чтобы их суммарное время на составление задач для ВП было как можно меньше: всё остальное время каждый из них планирует составлять задания для Московской олимпиады школьников по экономике.
- Пусть Александру и Максиму необходимо составить Q хороших задач для ВП (Q — количество задач, которые им нужно составить). Сколько часов каждый из них потратит на составление?
- Предположим, что олимпиада ВП уже очень скоро, и Александру с Максимом необходимо объединить усилия. Если они будут работать вместе и составят при этом Q хороших задач, сколько часов они потратят суммарно на эту работу? Сколько часов потратит каждый из них?
- Предположим, что у Максима на составление задач для ВП имеется всего 21 час, а у Александра — 20 часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление Q задач для ВП?
- Предположим, что у Максима на составление задач имеется всего M часов, а у Александра — N часов. Если Александр и Максим хотят выполнить работу за максимально короткий срок, сколько времени они потратят на составление Q хороших задач для ВП?
1) Так как Александр и Максим пытаются свести к минимуму суммарное время, оно же сумма времён, то очевидно следующее: каждую дополнительную задачу должен решать Максим в силу того, что если дополнительную задачу делает Максим, то суммарное время увеличивается на 3 часа, а если Александр, то на 5 часов. Поэтому все задачки должен сделать Максим, а Александр не делает задачки. Итого: время Максима =3Q ч., время Александра =0 ч.
2) Производительность Александра (AP_{Александра })=1/5 (задач/час); производительность Максима (AP_{Максима })=1/3 (задач/час); Общая производительность при одновременной работе (AP_{A+M})=1/3+1/5=8/15 (задач/час); следовательно время, которое потратят ребята при параллельной работе над задачками =Q/(8/15)=15Q/8 ч. Но найденное время – это время каждого по отдельности, а суммарное 15Q/8*2=15Q/4 часов.
3) Если Q<11, то аналогично пункту 2 время каждого 15Q/8, а суммарное 15Q/4.
Если Q=11 : Максим успеет 21/3=7 задач, а Александр 20/5=4 задачи, следовательно, 4+7=11 задач.
Если Q>11, то они ничего не успеют.
4) Максимально возможное количество задач Q_{max}=M/3+N/5.
Если Q_{max}>Q, N<1,875Q и M<1,875Q, то ограничение на нас не влияет и всё как в пункте 2 и 15Q/8 часов для каждого и 15Q/4 часов суммарно.
Если Q_{max}>Q Q_{max}>Q, N<1,875Q<M и N<1,875Q<M : Александр успеет сделать N/5 задач, тогда на Максима приходятся Q-N/5 задач и его время составит 3Q-(3N/5) часов и суммарное время составит 3Q+2N/5 часов.
Если Q_{max}>Q и M<1,875Q<N : Максим успеет сделать M/3 задач, тогда на Александра приходятся Q-M/3 задач и его время составит 5Q-(5M/3) часов и суммарное время составит 5Q-2M/3 часов