А) Фирмы взаимодействуют одновременно, промаксимизируем их прибыли, найдём кривые реакции и равновесие.

Pr_1=(400-q_2-q_1)q_1-20q_1-q_1^2=(380-q_2)q_1-2q_1^2\implies max q_1

Это парабола ветвями вниз, у которой максимум в вершине

q_1^*=max\{0,25(380-q_2); 0\}

Pr_2=(360-q_1)q_2-q_2^2\implies max q_2

Максимум в вершине параболы или в нуле, если оптимальное количество отрицательное,

тогда q_2^*=max\{0,5(360-q_1);0\}

Изобразим их и найдём пересечение, получив

q_1 = \frac{400}{7}, \quad q_2 = \frac{1060}{7}, \quad P = \frac{1340}{7}

Б) Теперь, если у фирмы 1 оптимальное кол-во при заданном q_2 не кратно трём, то можно либо закупить ближайшее кратное трём кол-во меньшее этого и продать всё, либо закупить наименьшее кратное трём кол-во большее оптимального, и продать либо его всё (MR\geq 0 на всём участке), либо такое, при котором предельная выручка на участке целочисленности, где был оптимум, равняется нулю (MR_1=0). Здесь мы на отдельном участке целочисленности считаем, что издержки уже понесены.

Рассмотрим последовательно все возможные случаи, а затем проверим, являются ли они

равновесиями.

1) q_1 = [\frac{380 - q_2}{12} ] \times 3, q_2 = \max\{0.5(360 - q_1); 0\}

Решение можно найти графически: q_1=54; q_2=153; q_1=57; q_2=151,5.

Проверим оптимальность для первой фирмы при заданных q_2 :

при q_2=153, Pr_1(54)=6426, Pr_1(57)=6526,5, значит первое равновесие неустойчиво и не подходит.

при q_2=151,5, исходя из анализа MR и MC,можно заключить, что q_1^*=57, что

является первым равновесием.

2) q_1 = [ \frac{380 - q_2}{12} ] \times 3 + 3, q_2 = \max\{0.5(360 - q_1); 0\}

Решение можно найти графически: q_1=60; q_2=150.

при q_2=150, Pr_1(57)=6612, Pr_1(60)=6600, таким образом первая ситуация лучше второй (якобы равновесной), поэтому равновесие неустойчиво.

3) MR_1=0, тогда (400-q_2-2q_1)=0 и q_2=\{0,5(360-q_1);0\}

Решив систему линейных уравнений, получаем q_1=440/3; q_2=320/3

Проверим оптимальность для первой фирмы: ей необходимо закупить 147 единиц, так как 144<440/3<147.

Тогда Pr_1\left(\frac{440}{3}\right) = \left(400 - \frac{800}{3}\right)\frac{440}{3} - 147(147 + 20) < 0

К примеру, Pr_1(30) = 30(380 - 60 - \frac{440}{3}) > 0, то есть как минимум существует лучшая стратегия, а значит ситуация пункта 3 не равновесная.

В результате единственным равновесием является выбор выпусков q_1=57; q_2=151,5

P.S. смысл такой, что иногда практически невозможно найти оптимальное выражение/решение для каждого значения параметра, как и здесь однозначно вывести кривую реакции, поэтому бывает полезно рассмотреть потенциальные равновесия, а потом уже проверить их достаточность (оптимум при данном значении параметра)

Ответ:

А) q_1=400/7, q_2=1060/7, P=1340/7

Б) q_1=57, q_2=151,5, P=191,5