Целая проблема.
На рынке арбузов два производителя конкурируют между собой по модели Курно. Спрос на арбузы для них общий и задан функцией . Издержки первого арбузника заданы как , а второго – .
А) Найдите равновесие, если каждый из агентов максимизирует свою прибыль при заданном количестве другого.
Б) Решите пункт А) при условии, что первый производитель из-за сбоев у поставщика сможет теперь закупать арбузы только партиями по три штуки, но не обязан продавать все, что закупит.
Ответ
А) Фирмы взаимодействуют одновременно, промаксимизируем их прибыли, найдём кривые реакции и равновесие.
Это парабола ветвями вниз, у которой максимум в вершине
Максимум в вершине параболы или в нуле, если оптимальное количество отрицательное,
тогда
Изобразим их и найдём пересечение, получив
Б) Теперь, если у фирмы оптимальное кол-во при заданном не кратно трём, то можно либо закупить ближайшее кратное трём кол-во меньшее этого и продать всё, либо закупить наименьшее кратное трём кол-во большее оптимального, и продать либо его всё ( на всём участке), либо такое, при котором предельная выручка на участке целочисленности, где был оптимум, равняется нулю . Здесь мы на отдельном участке целочисленности считаем, что издержки уже понесены.
Рассмотрим последовательно все возможные случаи, а затем проверим, являются ли они
равновесиями.
- ,
Решение можно найти графически: .
Проверим оптимальность для первой фирмы при заданных :
при , , , значит первое равновесие неустойчиво и не подходит.
при , исходя из анализа и ,можно заключить, что , что
является первым равновесием.
- ,
Решение можно найти графически: .
при , таким образом первая ситуация лучше второй (якобы равновесной), поэтому равновесие неустойчиво.
- , тогда и
Решив систему линейных уравнений, получаем
Проверим оптимальность для первой фирмы: ей необходимо закупить единиц, так как .
Тогда
К примеру, , то есть как минимум существует лучшая стратегия, а значит ситуация пункта не равновесная.
В результате единственным равновесием является выбор выпусков
P.S. смысл такой, что иногда практически невозможно найти оптимальное выражение/решение для каждого значения параметра, как и здесь однозначно вывести кривую реакции, поэтому бывает полезно рассмотреть потенциальные равновесия, а потом уже проверить их достаточность (оптимум при данном значении параметра)
Ответ:
А) , ,
Б)