Рынок труда
В регионе X присутствуют два предприятия (Альфа и Бета), каждое из которых производит готовую продукцию исключительно с помощью труда: каждая единица труда может произвести одну единицу продукции в фирме Альфа либо две единицы продукции в фирме Бета. На рынках конечной продукции обе фирмы являются монополистами, при этом спрос на продукцию фирм определяется как \alpha=30-p_{\alpha} и \beta=40-p_\beta соответственно. В то же время, на региональном рынке труда фирмы действуют как совершенные конкуренты, полагая, что никак не могут влиять на заработную плату. Предложение труда в регионе X абсолютно неэластично: все 15 единиц труда готовы работать, лишь бы платили ненулевую зарплату.
(а) Какая заработная плата установится в равновесии в регионе X ?
(б) У правительства региона X есть возможность привлечь дополнительную рабочую силу в свой регион: если необходимо добиться притока мигрантов в количестве m единиц труда (вдобавок к уже имеющимся 15 ), то стоимость такой программы составит 0,8m^2 д.е. Все новые работники предлагают свои услуги абсолютно неэластично – точно так же, как и местные. Реализуя программу привлечения мигрантов, власти стремятся максимизировать совокупное благосостояние на рынке труда, которое складывается из прибылей обеих действующих в регионе фирм и дохода всех занятых в регионе работников за вычетом расходов на программу. Выигрыш потребителей продукции Альфы и Беты региональные власти не принимают во внимание – продукция продаётся за пределами региона X. Сколько мигрантов будет привлечено?
(в) На работу в администрацию региона X вышел новый чиновник, ответственный за функционирование рынка труда и реализацию миграционной программы. Во-первых, он не уверен, что издержки на "переманивание" новых работников в точности равны 0,8m^2 д.е., а считает, что издержки составляют \mu m^2 д.е., \mu >0. Во-вторых, он ни при каких условиях не готов приглашать в регион больше мигрантов, чем при прежней политике, т.е. чем в пункте (б). В-третьих, чиновник полагает, что в совокупном благосостоянии следует учитывать суммарный доход не всех занятых в регионе работников, а только "местных", т.е. тех 15 единиц труда, которые находились в регионе изначально. Сколько мигрантов будет привлечено в регион в зависимости от \mu ?
а) Производственная функция у Альфы \alpha =L_a : прибыль Альфы ( 1 балл):
\pi_\alpha(L_\alpha) = p_\alpha \alpha - wL_\alpha = (30 - \alpha)\alpha - wL_\alpha = (30 - w)L_\alpha - L_\alpha^2 \to \max_{L_\alpha \geq 0}
Парабола с ветвями вниз ( 1 балл), вершина в точке L_{\alpha}^*(w)=15-0,5w ( 1 балл) −− это и есть спрос Альфы на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты.
Производственная функция у Беты \beta=2L_\beta : прибыль Беты ( 1 балл):
\pi_\beta(L_\beta) = p_\beta \beta - wL_\beta = (40 - \beta)\beta - wL_\beta = (40 - 2L_\beta)2L_\beta - wL_\beta = (80 - w)L_\beta - 4L_\beta^2 \to \max_{L_\beta \geq 0}
Парабола с ветвями вниз ( 1 балл), вершина в точке L_\beta^*(w)=10-0,125w ( 1 балл) −− это и есть спрос Беты на труд: зависимость оптимального количества труда от зарплаты.
Значит, суммарный спрос ( 2 балла) на труд в регионе X составляет
L_d(w) = \begin{cases} 25 - 0{,}625w, & 0 \leq w \leq 30 \\ 10 - 0{,}125w, & 30 \leq w \leq 80 \end{cases}
Предложение труда абсолютно неэластично и составляет L_s=15. Очевидно, что равенство спроса и предложения на рынке труда достигается на первом участке спроса: 25-0,625w=15, откуда w=16 ( 1 балл).
Итог 9 баллов.
б) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади трапеции ( 3 балла), основаниями которой являются старая и новая зарплаты, а высотой −− сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов m. Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов 0,8m^2. Исходная зарплата w_1=16, как было установлено в пункте а); новую зарплату можно найти, приравняв спрос на труд к новому предложению труда:
25 - 0{,}625w_2 = 15 + m, \quad w_2 = 16 - 1{,}6m
( 1 балл)
Таким образом, изменение благосостояния составит ( 2 балл)
\Delta SW = 0{,}5(w_1 + w_2)m - 0{,}8m^2 = 0{,}5(16 + 16 - 1{,}6m)m - 0{,}8m^2 = \\ = 0{,}5(32m - 1{,}6m^2) - 0{,}8m^2 = 16m - 1{,}6m^2 \to \max_{m \geq 0}
Парабола с ветвями вниз ( 1 балл), вершина в точке m^*=5 ( 1 балл) −− это и есть оптимальное число мигрантов.
Другой способ решения (в лоб):
w_2=16-1,6m ( 1 балл)
В оптимуме:
L^*_{\alpha}(w) = 15 - 0{,}5w_2 = 7 + 0{,}8m откуда \pi_{\alpha}(L^*_{\alpha}) = (7 + 0{,}8m)^2 ( 1 балл),
L^*_{\beta}(w) = 10 - 0{,}125w_2 = 8 + 0{,}2m откуда \pi_{\beta}(L^*_{\beta}) = 4(8 + 0{,}2m)^2 ( 1 балл),
Доход работников (15+m)(16-1,6m) ( 1 балл)
Если значения \pi_{\alpha}(L^*_{\alpha}), \pi_{\beta}(L^*_{\beta}) и доход работников найдены неявно и сразу подставлены в функцию общественного благосостояния, баллы ставятся.
Таким образом, общественное благосостояние будет ( 2 балла)
SW = (7 + 0{,}8m)^2 + 4(8 + 0{,}2m)^2 + (15 + m)(16 - 1{,}6m) - 0{,}8m^2 = 545 + 16m - 1{,}6m^2 \rightarrow \max_{m \geq 0}
Парабола с ветвями вниз ( 1 балл), вершина в точке m^*=5 ( 1 балл) −− это и есть оптимальное число мигрантов.
Итог 8 баллов.
в) На графике рынка труда можно увидеть, что совокупное благосостояние прирастет за счет площади прямоугольного треугольника, одним катетом которого являются разница старой и новой зарплаты, а другим −− сдвиг предложения труда, равный количеству мигрантов m ( 3 балла). Но благосостояние будет уменьшаться из-за издержек на привлечение мигрантов \mu m^2. Как было найдено, w_1=16 и w_2=16-1,6m тогда w_1-w_2=16-(16-1,6m)=1,6m. Таким образом, изменение благосостояния составит ( 2 балла)
\Delta SW = 0{,}5(w_1 - w_2)m - \mu m^2 = 0{,}5 \cdot 1{,}6m \cdot m - \mu m^2 = 0{,}8m^2 - \mu m^2 = (0{,}8 - \mu)m^2 \rightarrow \max_{0 \leq m \leq 5}
Отсюда видно, что если \mu<0,8, то благосостояние монотонно растет по m, а значит оптимальное число мигрантов m^*=5 ( 1 балл), а если \mu>0,8, то благосостояние монотонно убывает по m, а значит оптимальное число мигрантов m^*=0 ( 1 балл); в точности при \mu=0,8 оптимальным может быть любое число мигрантов ( 1 балл).
Другой способ решения (в лоб):
w_2=16-1,6m ( 1 балл)
В оптимуме:
L^*_{\alpha}(w) = 15 - 0{,}5w_2 = 7 + 0{,}8m, откуда \pi_{\alpha}(L^*_{\alpha}) = (7 + 0{,}8m)^2 ( 1 балл),
L^*_{\beta}(w) = 10 - 0{,}125w_2 = 8 + 0{,}2m, откуда \pi_{\beta}(L^*_{\beta}) = 4(8 + 0{,}2m)^2 ( 1 балл),
(Если w_2,\pi_{\alpha}(L^*_{\alpha}), \pi_{\beta}(L^*_{\beta}) найдены в пункте (б) и использовались в (в), баллы ставятся и в пункте (в))
Доход работников 15(16-1,6m),
Таким образом, общественное благосостояние будет ( 2 балла)