Географическое разнообразие
В стране A есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: q_i=400/p_i^2, где q_i — величина спроса на билеты на автобус в i -й город (в штуках), p_i — цена билета в этот город(i=1,2,...,N, где N — общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).
Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют 2 денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов — не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит 1 денежную единицу, во второй — 2 денежные единицы,..., в N -й город — N денежных единиц.
Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».
Общую прибыль можно записать так:
\pi = (p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \cdots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 + \cdots + N).
После подстановки обратных функций спроса p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}} и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
\pi = (20\sqrt{q_1} - 2q_1) + (20\sqrt{q_2} - 2q_2) + \cdots + (20\sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2 + N}{2}.
Выражение в каждой из скобок — парабола относительно \sqrt q_i (каждое \sqrt q_i влияет на значение только «своей» параболы). Если \sqrt q_i=t, то выражения в скобках принимают вид (20t-2t^2). Все параболы имеют вершину в точке t=5, то есть q_i=25.
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:
\pi_i' = (20\sqrt{q_i} - 2q_i)' = \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2.
Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения под знаком производной: q_i=25.
Еще один способ — посчитать прибыль в регионе i как функцию от цены:
\pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2 \cdot \frac{400}{p_i^2}.
Это парабола с ветвями вниз относительно s=1/p_i, максимум достигается при p_i=4.
Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):
\frac{p_i - MC}{p_i} = \frac{1}{|\varepsilon|}.
При данных функциях спроса |\varepsilon|=2, а MC=2 по условию. Отсюда получаем p_i=4.
Этот результат никак не зависит от того, каково значение N : сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.
Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных q_i :
\pi = (20 \cdot 5 - 2 \cdot 25) \cdot N - \frac{N^2 + N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.
Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной N. Ее максимум достигается в вершине — точке N=49,5, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной
\pi = \frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225.