Географическое разнообразие
В стране есть столица и очень много маленьких городов. Автобусная компания «Солнышко» является единственным перевозчиком между столицей и маленькими городами. Компания сама выбирает цены билетов, а также то, в какие города будут ходить автобусы из столицы (между маленькими городами дорог нет), при этом количество городов может быть только целым. Спрос на перевозки в каждый город одинаков и имеет следующий вид: , где — величина спроса на билеты на автобус в -й город (в штуках), — цена билета в этот город( где — общее количество городов, в которые ходят автобусы компании «Солнышко»).
Издержки перевозки одного пассажира в любой город составляют денежных единицы, не считая издержек организации маршрута. Создание всё новых маршрутов — не такая уж и простая задача, требующая составления расписания, организации логистики, закупок, установки турникетов и т. п. Организация маршрута в первый город стоит денежную единицу, во второй — денежные единицы,..., в -й город — денежных единиц.
Определите максимальную прибыль фирмы «Солнышко».
Ответ
Общую прибыль можно записать так:
После подстановки обратных функций спроса и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:
Выражение в каждой из скобок — парабола относительно (каждое влияет на значение только «своей» параболы). Если , то выражения в скобках принимают вид . Все параболы имеют вершину в точке , то есть .
Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:
Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к даст максимум выражения под знаком производной: .
Еще один способ — посчитать прибыль в регионе как функцию от цены:
Это парабола с ветвями вниз относительно , максимум достигается при .
Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):
При данных функциях спроса , а по условию. Отсюда получаем .
Этот результат никак не зависит от того, каково значение : сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано билетов, цена каждого билета равна .
Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных :
Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной . Ее максимум достигается в вершине — точке , но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа и находятся на одинаковом расстоянии от , в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной