Общую прибыль можно записать так:

\pi = (p_1 q_1 - 2q_1) + (p_2 q_2 - 2q_2) + \cdots + (p_N q_N - 2q_N) - (1 + 2 + \cdots + N).

После подстановки обратных функций спроса p_i=\frac{20}{\sqrt{q_i}} и применения формулы суммы арифметической прогрессии получаем:

\pi = (20\sqrt{q_1} - 2q_1) + (20\sqrt{q_2} - 2q_2) + \cdots + (20\sqrt{q_N} - 2q_N) - \frac{N^2 + N}{2}.

Выражение в каждой из скобок — парабола относительно \sqrt q_i (каждое \sqrt q_i влияет на значение только «своей» параболы). Если \sqrt q_i=t, то выражения в скобках принимают вид (20t-2t^2). Все параболы имеют вершину в точке t=5, то есть q_i=25.

Тот же ответ можно получить, взяв производную функции прибыли от перевозок до отдельного города:

\pi_i' = (20\sqrt{q_i} - 2q_i)' = \frac{10}{\sqrt{q_i}} - 2.

Это убывающая функция, а значит, приравнивание ее к 0 даст максимум выражения под знаком производной: q_i=25.

Еще один способ — посчитать прибыль в регионе i как функцию от цены:

\pi_i = p_i \cdot \frac{400}{p_i^2} - 2 \cdot \frac{400}{p_i^2}.

Это парабола с ветвями вниз относительно s=1/p_i, максимум достигается при p_i=4.

Наконец, можно было узнать оптимальную цену, воспользовавшись формулой взаимосвязи индекса Лернера и эластичности спроса (третий способ):

\frac{p_i - MC}{p_i} = \frac{1}{|\varepsilon|}.

При данных функциях спроса |\varepsilon|=2, а MC=2 по условию. Отсюда получаем p_i=4.

Этот результат никак не зависит от того, каково значение N : сколько бы городов ни обслуживала компания, в каждый будет продано 25 билетов, цена каждого билета равна 4.

Запишем функцию прибыли с учетом выбора оптимальных q_i :

\pi = (20 \cdot 5 - 2 \cdot 25) \cdot N - \frac{N^2 + N}{2} = \frac{99N - N^2}{2}.

Это тоже парабола с ветвями вниз — теперь уже зависящая от переменной N. Ее максимум достигается в вершине — точке N=49,5, но количество городов должно быть целым. Поскольку квадратичная парабола симметрична относительно своей вершины, а числа 49 и 50 находятся на одинаковом расстоянии от 49,5, в двух ближайших целочисленных точках прибыль будет одинаковой и равной

\pi = \frac{99 \cdot 50 - 50^2}{2} = 1225.