Чтобы определить, какую долю y суммарного дохода всех олигархов получает доля x наиболее бедных олигархов, можно для каждого значения x:

1) определить, какую часть составляет доход всех олигархов общем доходе страны;

2) определить, какую часть составляет доход доли x наиболее бедных олигархов в общем доходе страны;

3) разделить второй показатель на первый.

1) 90% населения, не входящие в группу олигархов, получают долю Y(0,9)=0,81 всего дохода, а олигархи, следовательно, получают 1−Y(0,9)=0,19 всего дохода.

Доля x наиболее бедных олигархов составляет долю 0,1x от всего населения страны. При этом вместе с 90% неолигархов они составляют 0,9+0,1x населения и получают Y(0,9+0,1x)=(0,9+0,1x)^2 всего дохода; без учета неолигархов они получают Y(0,9+0,1x)−Y(0,9)=(0,9+0,1x)^2−0,92=0,18x+0,01x^2 всего дохода.

Значит, в общем доходе всех олигархов доход x наиболее бедных из них составляет

y = \frac{Y(0,9 + 0,1x) - Y(0,9)}{1 - Y(0,9)} = \frac{0,18x + 0,01x^2}{0,19} = \frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2

Это и есть искомое уравнение кривой Лоренца.

Сравнить степень неравенства можно двумя способами.

Способ 1. (Не требует расчета коэффициентов Джини.)

Заметим, что полученная кривая Лоренца лежит ближе к линии абсолютного равенства, чем кривая Лоренца для всей страны: действительно, \frac{18}{19}x+\frac{1}{19}x^2>x^2 для x \in (0;1), так как в этом интервале x>x^2. (На Рис. 4.1a новая кривая Лоренца почти неотличима от прямой линии.) Значит, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов меньше, чем коэффициент Джини для всей страны. Среди олигархов степень неравенства доходов меньше, чем в стране в целом.

Способ 2. Рассчитаем коэффициенты Джини. Во всей стране коэффициент Джини равен

\left( \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} X^2 dX \right) : \frac{1}{2} = 1 - 2 \int_{0}^{1} X^2 dX = 1 - 2 \left( \frac{1^3 - 0^3}{3} \right) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

.

Среди олигархов коэффициент Джини равен

\left( \frac{1}{2} - \int_{0}^{1} \left( \frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2 \right) dx \right) : \frac{1}{2} = 1 - 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{18}{19}x + \frac{1}{19}x^2 \right) dx = 1 - 2 \left( \frac{18}{19} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{19} \cdot \frac{1}{3} \right) = 1 - \frac{1}{57}

Поскольку \frac{1}{57} < \frac{1}{3}, среди олигархов степень неравенства доходов меньше.

2) Действуя по аналогии, получаем, что искомая кривая Лоренца будет иметь вид

y = \frac{\sqrt{0,1 - \sqrt{1 - 0,1x}} - (1 - \sqrt{1 - 0,9})}{1 - Y(0,9)} = \frac{\sqrt{0,1 - \sqrt{1 - 0,1x}}}{\sqrt{0,1}} = 1 - \sqrt{1 - x}

Таким образом, кривая Лоренца распределения доходов среди 10% богатейших имеет точно такой же вид, как кривая Лоренца в стране в целом! Следовательно, коэффициент Джини распределения доходов среди олигархов точно такой же, как в стране в целом.

Примечание. Для ответа на вопрос не понадобилось рассчитывать сам коэффициент Джини (он равен 1/3).

3) Представим себе страну C, населенную только олигархами страны B. 1% богатейших жителей страны B являются 10% богатейших жителей страны C (то есть олигархами среди олигархов). Таким образом, нам нужно сравнить неравенство доходов в стране С в целом и неравенство доходов среди олигархов страны C.

В пункте 2 мы решили точно такую же задачу для страны B; при этом мы вывели, что в стране C кривая Лоренца имеет точно такой же вид как в стране B. Значит, и ответ будет таким же: кривая Лоренца среди олигархов страны C будет иметь такой же вид, как в стране С в целом, и коэффициент Джини будет тем же самым. Продолжая по аналогии, получаем, что и среди 0,1% богатейших жителей страны B (1% богатейших жителей страны C) коэффициент Джини будет точно таким же.

Примечание:

Распределение доходов в богатейших слоях общества в реальном мире скорее похоже на распределение доходов в стране B, чем в А. Во многих странах распределение доходов среди 5-10% богатейших жителей хорошо описывается кривой Лоренца y = 1 - (1 - x)^\alpha, \text{ где } \alpha \in (0;1) \alpha \in (0;1). Для страны B \alpha =0,5, а, например, в настоящее время в США \alpha \approx 0{,}4. Такое распределение называется распределением Парето в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето, который первым обнаружил такую форму распределения доходов более 100 лет назад. Свойство, полученное нами в п.2 и п.3 (кривая Лоренца для t% богатейших одинакова для любого t) выполняется для любого \alpha ; этот феномен имеет место и в реальном мире среди обеспеченных слоев населения.

См. также: Фрактал