a) При K = 4 производственная функция фирмы принимает вид Q(L,4) = 4L - \frac{L^2}{2}.

Способ 1. Составим функцию прибыли фирмы \pi(L). Фирма выбирает объем труда, так чтобы ее прибыль была максимальной.

\pi = TR - TC = PQ - wL = 1 \cdot (4L - \frac{L^2}{2}) - wL = (4 - w)L - \frac{L^2}{2} \to \max_{L}

Мы не включили в прибыль расходы на капитал, потому что они уже понесены. Функция является квадратичной, ветви параболы направлены вниз (Это Парабола с Ветвями Вниз, ЭПВВн). Максимум находится в вершине:

L^* = \frac{4 - w}{2 \cdot 1/2} = 4 - w.

Итак, при зарплате w фирма наймет L_d = 4 - w единицы труда. Это и есть искомая функция спроса на труд.

Способ 2. Совершенный конкурент на рынке товара и на рынке труда выбирает объем труда так, чтобы выполнялось равенство предельного продукта труда в денежном выражении и зарплаты:

MPL_L = w

P \cdot MPL_L = w

Поскольку в данном случае MPL_L = (4L - L^2/2)' = 4 - L, при P = 1, получаем:

1 \cdot (4 - L) = w,

L = 4 - w.

Это именно точка максимума, поскольку предельный продукт труда в денежном выражении убывает.

Ответ: L_d(w) = 4 - w.

б) Фирма готова платить сумму S за аренду двух единиц капитала тогда и только тогда, когда ее прибыль от этого не уменьшается.

Рассчитаем прибыль фирмы в двух случаях: (1) фирма не арендует 2 единицы капитала; (2) фирма их арендует, платя S.

1. Если фирма не арендует 2 единицы капитала, ее прибыль равна максимальной прибыли из пункта а). Эту прибыль можно найти, подставив найденное нами оптимальное значение L в функцию прибыли:

\pi_1^* = \pi(4 - w) = (4 - w)(4 - w) - (4 - w)^2/2 = (4 - w)^2/2.

2. Если фирма арендует 2 единицы капитала, ее максимальную прибыль можно найти, проделав те же действия, что и в пункте а), только не для K = 4, а для K = 4 + 2 = 6. Также нужно вычесть из прибыли S.

Способ 1. При K = 6 функция прибыли фирмы примет вид:

\pi(L) = 1 \cdot (6L - L^2/2) - wL - S = (6 - w)L - L^2/2 - S.

Фирма максимизирует ее по L, ЭПВВн, максимум достигается в вершине параболы, L^* = (6 - w)/(2 \cdot 1/2) = 6 - w.

Способ 2. Аналогично пункту а), приравняем MRP_L k w : (6L - L^2/2)' = w, откуда L = 6 - w.

Значит, максимальная прибыль фирмы равна:

\pi_2^* = \pi(6 - w) - S = (6 - w)(6 - w) - (6 - w)^2/2 - S = (6 - w)^2/2 - S.

Фирма максимизирует ее по L, ЭПВВн, максимум достигается в вершине параболы, L^* = (6 - w)/(2 \cdot 1/2) = 6 - w.

Способ 2. Аналогично пункту а), приравняем MRP_L к w : (6L - L^2/2)' = w, откуда L = 6 - w.

Значит, максимальная прибыль фирмы равна:

\pi_2^* = \pi(6 - w) - S = (6 - w)(6 - w) - (6 - w)^2/2 - S = (6 - w)^2/2 - S.

S_{\text{max}}(w) — это максимальное значение S, при котором \pi_2^* \geq \pi_1^*. Значит,

S_{\text{max}}(w) = (6 - w)^2/2 - (4 - w)^2/2 = 10 - 2w.

Ответ: S_{\text{max}}(w) = 10 - 2w.

в)

1) "убывает",

2) "дополняющими".

Пояснение (от участника оно не требуется): S_{\text{max}}(w) является готовностью платить за капитал, то есть величиной, характеризующей спрос на капитал. Получаем, что на качественном уровне спрос на капитал убывает по цене труда (зарплате). Когда спрос на одно благо убывает по цене другого, блага являются дополняющими (комплементами).

Примечание: Вообще тот факт, что готовность фирмы платить за капитал как-то зависит от цены другого фактора, труда, может показаться удивительным. Это происходит потому, при данной производственной функции чем больше величина труда, тем больше предельный продукт капитала. (Действительно, здесь предельный продукт капитала просто равен L. Чем больше зарплата, тем меньше труда нанимает фирма, тем выше становится интенсивность и предельный продукт капитала. Это уменьшает готовность платить за капитал.