Равновесие на кольце
В городе построено Городское Центральное Кольцо (ГЦК), имеющее форму окружности длины . В диаметрально противоположных точках кольца расположены две станции техобслуживания: станция и станция .
Водители равномерно распределены по кольцу. Каждый водитель может обслужиться не более одного раза на одной из станций либо отказаться от обслуживания вовсе. Станции одновременно назначают цены и . Предельные издержки обслуживания одной машины равны и соответственно, причём . Если водитель, находящийся в точке кольца, обслуживается на станции , его полезность равна
, где - базовая полезность обслуживания, - параметр неудобства поездки, - кратчайшее расстояние по кольцу от точки до станции .
Если водитель отказывается от обслуживания, его полезность равна . Водитель выбирает вариант с максимальной полезностью. Считайте, что параметры таковы, что в равновесии Нэша все водители, находящиеся между станциями, предпочитают обслуживаться на одной из станций, а не отказываться от обслуживания.
а) Найдите равновесные цены и прибыли фирм.
б) Какая станция назначает более высокую цену? Какая обслуживает большую долю водителей?
Ответ
Выбор водителей и граница безразличия.
Рассмотрим дугу между станциями и , имеющую длину .
Пусть — расстояние от станции вдоль кратчайшей дуги к станции .
Тогда
Полезности водителя, находящегося в точке , равны:
Граница между зонами обслуживания определяется условием безразличия:
Отсюда получаем
Спрос на услуги станций.
По предположению задачи, в равновесии Нэша водители между станциями не используют внешнюю опцию, поэтому каждый из них выбирает одну из станций.
Станция обслуживает водителей, находящихся на расстоянии не более от неё по обе стороны, следовательно,
Аналогично,
Прибыль фирм.
Прибыль станции равна
Аналогично для станции :
Нахождение равновесных цен.
Максимизируем прибыль станции по цене :
Условие максимума:
откуда
Проверим условия второго порядка:
Аналогично для станции :
Равновесие Нэша.
Решая систему двух уравнений, получаем равновесные цены:
Подставляем цены в прибыли и получаем искомые значения:
Сравнение цен и долей рынка.
Подставляя равновесные цены в функции спроса, находим:
Так как предельные издержки у фирмы меньше, чем у фирмы , объем продаж фирмы больше, чем у фирмы (см. расчеты).
Кроме того, то есть станция с меньшими издержками назначает более низкую цену.
Ответ:
Равновесные цены:
Прибыли фирм:
равновесные объемы:
Станция с меньшими издержками обслуживает большую долю водителей, и при этом она назначает более низкую цену.