Равновесие на кольце
В городе построено Городское Центральное Кольцо (ГЦК), имеющее форму окружности длины 1. В диаметрально противоположных точках кольца расположены две станции техобслуживания: станция A и станция B.
Водители равномерно распределены по кольцу. Каждый водитель может обслужиться не более одного раза на одной из станций либо отказаться от обслуживания вовсе. Станции одновременно назначают цены p_A и p_B. Предельные издержки обслуживания одной машины равны c_A и c_B соответственно, причём 0\leq c_A<c_B. Если водитель, находящийся в точке x кольца, обслуживается на станции i\in \{A, B\}, его полезность равна
U_i(x)=V-p_i-td(x, i), где V>0 - базовая полезность обслуживания, t>0 - параметр неудобства поездки, d(x, i) - кратчайшее расстояние по кольцу от точки x до станции i.
Если водитель отказывается от обслуживания, его полезность равна 0. Водитель выбирает вариант с максимальной полезностью. Считайте, что параметры V, \ t, \ c_A, \ c_B таковы, что в равновесии Нэша все водители, находящиеся между станциями, предпочитают обслуживаться на одной из станций, а не отказываться от обслуживания.
а) Найдите равновесные цены и прибыли фирм.
б) Какая станция назначает более высокую цену? Какая обслуживает большую долю водителей?
1. Выбор водителей и граница безразличия.
Рассмотрим дугу между станциями A и B, имеющую длину 12.
Пусть x\in [0,12] — расстояние от станции A вдоль кратчайшей дуги к станции B.
Тогда
d(x, A) = x, \quad d(x, B) = \frac{1}{2} - x.
Полезности водителя, находящегося в точке x, равны:
U_A(x) = V - p_A - tx, \quad U_B(x) = V - p_B - t\left(\frac{1}{2} - x\right).
Граница между зонами обслуживания определяется условием безразличия:
V - p_A - tx = V - p_B - t\left(\frac{1}{2} - x\right).
Отсюда получаем
x^* = \frac{p_B - p_A}{2t} + \frac{1}{4}.
2. Спрос на услуги станций.
По предположению задачи, в равновесии Нэша водители между станциями не используют внешнюю опцию, поэтому каждый из них выбирает одну из станций.
Станция A обслуживает водителей, находящихся на расстоянии не более x^* от неё по обе стороны, следовательно,
D_A = 2x^* = \frac{1}{2} + \frac{p_B - p_A}{t}.
Аналогично,
D_B = \frac{1}{2} + \frac{p_A - p_B}{t}.
3. Прибыль фирм.
Прибыль станции A равна
\pi_A = (p_A - c_A)D_A = (p_A - c_A) \left( \frac{1}{2} + \frac{p_B - p_A}{t} \right).
Аналогично для станции B :
\pi_B = (p_B - c_B) \left( \frac{1}{2} + \frac{p_A - p_B}{t} \right).
4. Нахождение равновесных цен.
Максимизируем прибыль станции A по цене p_A :
\pi'_A = \frac{1}{2} + \frac{p_B - 2p_A + c_A}{t}.
Условие максимума:
\frac{1}{2} + \frac{p_B - 2p_A + c_A}{t} = 0,
откуда p_A = \frac{p_B + c_A}{2} + \frac{t}{4}.
Проверим условия второго порядка:
\pi''_A = -\frac{2}{t} < 0.
Аналогично для станции B :
p_B = \frac{p_A + c_B}{2} + \frac{t}{4}.
5. Равновесие Нэша.
Решая систему двух уравнений, получаем равновесные цены:
\begin{cases} p_A = \frac{p_B + c_A}{2} + \frac{t}{4}, \\ p_B = \frac{p_A + c_B}{2} + \frac{t}{4}. \end{cases}
p_A = \frac{4c_A - c_B + 3t}{3}, \quad p_B = \frac{4c_B - c_A + 3t}{3}.
Подставляем цены в прибыли и получаем искомые значения:
\pi_A = \left( \frac{c_B - c_A}{3} + \frac{t}{2} \right) \left( \frac{1}{2} + \frac{c_B - c_A}{3t} \right), \quad \pi_B = \left( \frac{t}{2} - \frac{c_B - c_A}{3} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{c_B - c_A}{3t} \right).
6. Сравнение цен и долей рынка.
Подставляя равновесные цены в функции спроса, находим:
D_A = \frac{1}{2} + \frac{c_B - c_A}{3t}, \quad D_B = \frac{1}{2} - \frac{c_B - c_A}{3t}.
Так как предельные издержки у фирмы A меньше, чем у фирмы B, объем продаж фирмы A больше, чем у фирмы B (см. расчеты).
Кроме того, p_A - p_B = \frac{c_A - c_B}{3} < 0, то есть станция с меньшими издержками назначает более низкую цену.
Ответ:
Равновесные цены:
p_A = \frac{4c_A - c_B + 3t}{3}, \quad p_B = \frac{4c_B - c_A + 3t}{3}.
Прибыли фирм:
\pi_A = \left( \frac{c_B - c_A}{3} + \frac{t}{2} \right) \left( \frac{1}{2} + \frac{c_B - c_A}{3t} \right), \quad \pi_B = \left( \frac{t}{2} - \frac{c_B - c_A}{3} \right) \left( \frac{1}{2} - \frac{c_B - c_A}{3t} \right).
равновесные объемы:
D_A = \frac{1}{2} + \frac{c_B - c_A}{3t}, \quad D_B = \frac{1}{2} - \frac{c_B - c_A}{3t}.
Станция с меньшими издержками обслуживает большую долю водителей, и при этом она назначает более низкую цену.