Выгода от обмена ресурсами
В загадочной стране потребляют два товара x и y, для производства которых используются два ресурса \alpha и \beta. Страна разделена рекой на два региона, в которых разные запасы ресурсов и технологии производства. Так в первом регионе для производства одной единицы x надо потратить 2 единицы \alpha и 3 единицы \beta, а для производства y – 4 единицы \alpha и 2 единицы \beta, запасы \alpha и \beta в регионе составляют 120 и 90 единиц соответственно. Во втором регионе для производства одной единицы x надо потратить 3 единицы \alpha и 5 единиц \beta, а для производства y – 2 единицы \alpha и 2 единицы \beta, запасы \alpha и \beta в регионе составляют 90 и 120 единиц соответственно. Изначально обмен ресурсами между регионами невозможен, но произведенные x и y потребляются регионами вместе комплектами по 1 единице x и a единиц y в каждом комплекте.
a) Найдите КПВ объединенной страны?
Строим раздельные КПВ и складываем их.
Для первого региона :
x_{\alpha} = \frac{\alpha}{2} ; \quad y_{\alpha} = \frac{\alpha}{4}
x_{\beta} = \frac{\beta}{3}; \quad y_{\beta} = \frac{\beta}{2}
\begin{cases} 2x + 4y \leq 120, \\ 3x + 2y \leq 90. \end{cases} \begin{cases} y \leq 30 - 0.5x, \\ y \leq 45 - 1.5x. \end{cases}
Для второго региона:
\begin{cases} 3x + 2y \leq 90, \\ 5x + 2y \leq 120. \end{cases} \begin{cases} y \leq 45 - 1.5x, \\ y \leq 60 - 2.5x. \end{cases}
Y = \begin{cases} 75 - \frac{x}{2}, & x < 15, \\ 105 - \frac{3}{2}x, & x \in [15; 45], \\ 135 - \frac{5}{2}x, & x > 45. \end{cases}
Суммарная КПВ имеет вид:
b) Через реку построили грузовой мост и теперь у регионов появилась возможность перевозить ресурс \alpha из одного региона в другой. Однако ресурс \beta всё ещё недоступен для перевозки. Найдите КПВ страны комплектов в новых условиях.
Невыгодно x_1, x_2, y_1, y_2>0 .
1) x_2=0, x_1=x, y_2=60
Перевозим 30\alpha во второй регион
\begin{cases} 2x + 4(y - 60) \leq 90, \\ 3x + 2(y - 60) \leq 90. \end{cases}
\begin{cases} 2x + 4y \leq 330, \\ 3x + 2y \leq 210. \end{cases}
2) y_1=0, y_2=y, x_1=30
Перевозим 60\alpha во второй регион
\begin{cases} 3(x - 30) + 2y \leq 150, \\ 5(x - 30) + 2y \leq 120. \end{cases}
\begin{cases} 3x + 2y \leq 240, \\ 5x + 2y \leq 270. \end{cases}
y = 135 - \frac{5}{2}x \quad (x \geq 30)
Ответ : y = \begin{cases} 82.5 - \frac{x}{2}, & x < 22.5 \\ 105 - \frac{3}{2}x, & x \in [22.5; 30] \\ 135 - \frac{5}{2}x, & x > 30 \end{cases}
c) Грузовой мост планируют расширить и усилить так, чтобы можно было перевозить оба ресурса. Однако по расчётам министерства экономического развития загадочной страны такой проект окажется бесполезным (т.е. не увеличит количество потребляемых комплектов). При каких a это возможно?
\begin{cases} 2x + 2y \leq 210 \\ 3x + 2y \leq 210 \end{cases} \quad \left( x_2 = 0, \, y_1 = 0 \right)
y = 105 - \frac{3}{2}x,
y(30) = 60,
y(22,5) = 71,25,
Ответ: a \in \left[2; \frac{19}{6}\right]