Решение 1 (Используется критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа).

Пусть число рабочих равно L. Общее количество инструментов, которое будет использовать фирма: K=kL. k=\frac{K}{L}. Предположим, запланированный выпуск равен Q.

Очевидно, Q = qL = 0.5\sqrt{kL} = 0.5\sqrt{\frac{K}{L}}L = 0.5\sqrt{KL}.

Критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа: \frac{1}{0.5}10K = \frac{1}{0.5}360L. \quad K = 36L. \quad Q = 0.5\sqrt{36L^2} = 3L. \quad L = \frac{Q}{3}.

TC = 10K + 360L = 720L = 240Q.

Решение 2 (общий случай минимизации TC ).

Пусть L – общее число рабочих. L = \frac{Q}{q}. \quad k = 4q^2. \quad TC = 10kL + 360L = 40q^2\frac{Q}{q} + 360\frac{Q}{q}.

При некотором заданном (принятом за постоянную величину) объеме выпуска Q общие затраты определяются только выработкой рабочего q. Дифференцируя TC по q, мы определим, какой должна быть величина q для того, чтобы TC были минимальными при каждом данном значении Q.

TC' = 40Q - \frac{360Q}{q^2} = 0. \quad q = 3. \quad TC = 40q^2 \frac{Q}{q} + 360 \frac{Q}{q} = 120Q + 120Q = 240Q.

Ответ. TC=240Q.