S044
Выработка одного рабочего в течение одной смены (q) определяется числом инструментов, которым он располагает: q=0,5\sqrt k, где k – число инструментов в расчете на одного рабочего. Зарплата одного рабочего за смену равна 360 рублям, цена одного инструмента – 10 рублей. Каждый инструмент служит лишь в течение одной смены, после чего приходит в негодность. Фирма может нанять любое количество рабочих в зависимости от того, какое общее количество продукции (Q) собирается выпустить.
Сформулируйте функцию общих затрат фирмы в расчете на одну смену в виде: TC=f(Q).
Решение 1 (Используется критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа).
Пусть число рабочих равно L. Общее количество инструментов, которое будет использовать фирма: K=kL. k=\frac{K}{L}. Предположим, запланированный выпуск равен Q.
Очевидно, Q = qL = 0.5\sqrt{kL} = 0.5\sqrt{\frac{K}{L}}L = 0.5\sqrt{KL}.
Критерий оптимума для функции Кобба-Дугласа: \frac{1}{0.5}10K = \frac{1}{0.5}360L. \quad K = 36L. \quad Q = 0.5\sqrt{36L^2} = 3L. \quad L = \frac{Q}{3}.
TC = 10K + 360L = 720L = 240Q.
Решение 2 (общий случай минимизации TC ).
Пусть L – общее число рабочих. L = \frac{Q}{q}. \quad k = 4q^2. \quad TC = 10kL + 360L = 40q^2\frac{Q}{q} + 360\frac{Q}{q}.
При некотором заданном (принятом за постоянную величину) объеме выпуска Q общие затраты определяются только выработкой рабочего q. Дифференцируя TC по q, мы определим, какой должна быть величина q для того, чтобы TC были минимальными при каждом данном значении Q.
TC' = 40Q - \frac{360Q}{q^2} = 0. \quad q = 3. \quad TC = 40q^2 \frac{Q}{q} + 360 \frac{Q}{q} = 120Q + 120Q = 240Q.
Ответ. TC=240Q.