Определим, как взаимно расположены среднедушевые доходы a_1, \ a_2, \ b_1, \ b_2.

Пусть Y_i — суммарный доход страны i. Не нарушая общности, можно считать, что Y_1\leq Y_2.

Тогда G_{\text{между}}=0{,}5-\frac{Y_1}{Y_1+Y_2}=0{,}3, откуда Y_2/Y_1=4.

Пусть y_i — доля дохода бедных в каждой стране в ее общем доходе.

Тогда G_{\text{внутри}}=\tfrac{1}{2}\,(x_1-y_1+x_2-y_2) =\tfrac{1}{2}\,(1{,}6-y_1-y_2)=0{,}2, откуда y_1+y_2=1,2.

Имеем b_1=\frac{(1-y_1)Y_1}{(1-x_1)N},\qquad a_2=\frac{y_2Y_2}{x_2^2N}. Покажем, что из имеющихся данных следует, что b_1<a_2.

Действительно, \begin{aligned} b_1<a_2 &\iff \frac{(1-y_1)Y_1}{(1-x_1)N}<\frac{y_2Y_2}{x_2^2N} \iff 1-y_1<\frac{y_2Y_2}{Y_1}\cdot\frac{1-x_1}{x_2}\iff 1-y_1<y_2\cdot 4\cdot\frac{0.2}{0.8} \iff y_1+y_2>1. \end{aligned}

но последнее верно в силу y_1+y_2=1,2. Значит, b_1<a_2, откуда a_1\leq b_1<a_2\leq b_2.

Отсюда получаем, что кривая Лоренца мира соединяет точки (0;0), \ (0,4;0,2y_1), \ (0,5;0,2), \ (0,9;0,2+0,8y_2), \ (1;1).

Удвоенная площадь под ней равна 2S=0,1y_1+0,4y_2+0,3, а коэффициент Джини G_{мира }=1-2S=0,7-0,1y_1-0,4y_2. Нам нужно максимизировать и минимизировать значение выражения 0,7-0,1y_1-0,4y_2 при ограничениях y_i\geq 0, \ y_i\leq 0,8 (из-за неотрицательности коэффициентов Джини в двух странах), и y_1+y_2=1,2. Выражаем y_2=1,2-y_1, откуда G_{мира }=0,7-0,1y_1-0,4(1,2-y_1)=0,22+0,3y_1.

y_1 принимает значения от 0,4 (в силу y_2=1,2-y_1\leq 0,8 ) до 0,8. Для минимизации G_{мира} нужно взять y_1=0,4, для максимизации y_1=0,8.

Значит, min G_{\text{мира}}=0.22+0.3\cdot 0.4=0.34, \qquad \max G_{\text{мира}}=0.22+0.3\cdot 0.8=0.46.

Ответ: минимальное значение G_{мира} равно 0,34, максимальное — 0,46.