Неравенство: внутри и между
Экономисты интересуются вопросом неравенства доходов не только внутри одной страны, но и между странами. В г. Нобелевская премия по экономике как раз была присуждена за исследование причин неравенства между странами. Исследования показывают, что за последние лет неравенство доходов внутри стран в среднем увеличилось, но неравенство между странами снизилось.
Представим себе две страны (первую и вторую), в которых есть по две группы населения, в каждой из которых доход распределен равномерно. Обозначим за долю более бедной группы в населении страны , за — среднедушевой доход бедных в стране , за — среднедушевой доход богатых в стране (, причем суммарный доход каждой страны положителен). Численность населения в двух странах одинакова.
Определим средний внутри страновой коэффициент Джини как среднее арифметическое коэффициентов Джини в двух странах. Определим межстрановой коэффициент Джини как коэффициент Джини, отражающий неравенство доходов в гипотетическом мире, в котором есть две страны с таким же населением и суммарным доходом в каждой из стран, но в котором доход внутри стран распределен равномерно. Наконец, пусть — коэффициент Джини, отражающий полное неравенство доходов между всеми жителями двух стран.
а) ( балла) Найдите и , если , , , .
Пусть — население каждой из стран.
Рассчитаем и — доли доходов бедных в суммарном доходе каждой из стран.
Значит, коэффициенты Джини в двух странах равны , .
Следовательно, средний внутристрановой коэффициент Джини равен
Среднедушевой доход ниже в стране , чем в стране , значит, страна — более бедная «группа населения» в мире
Доля страны в мировом доходе составляет .
Ее доля в мировом населении равна . Значит, межстрановой коэффициент Джини равен .
Наконец, чтобы посчитать мировой коэффициент Джини, построим мировую кривую Лоренца. Она представляет из себя ломаную линию, соединяющую точки.
Отсюда находим, что площадь под ней равна , а общемировой коэффициент Джини равен .
Ответ: , , .
б) ( баллов) Теперь допустим, что . Значения среднедушевых доходов неизвестны. Найдите максимально возможное и минимально возможное значения , если , .
Определим, как взаимно расположены среднедушевые доходы
Пусть — суммарный доход страны . Не нарушая общности, можно считать, что .
Тогда , откуда .
Пусть — доля дохода бедных в каждой стране в ее общем доходе.
Тогда , откуда .
Имеем . Покажем, что из имеющихся данных следует, что .
Действительно,
но последнее верно в силу . Значит, , откуда .
Отсюда получаем, что кривая Лоренца мира соединяет точки $(0;0), \ (0,4;0,2y_1), $ .
Удвоенная площадь под ней равна , а коэффициент Джини . Нам нужно максимизировать и минимизировать значение выражения при ограничениях (из-за неотрицательности коэффициентов Джини в двух странах), и . Выражаем , откуда .
принимает значения от (в силу ) до . Для минимизации нужно взять , для максимизации .
Значит,
Ответ: минимальное значение равно , максимальное — .