1. q_1 = 100 - 10p_1

q_2 = 80 - 10p_2

MC = 4 , FC = 0

(10 баллов за пункт 1)

Это случай раздельных продаж, или третий тип ценовой дискриминации.

Запишем прибыль как функцию от цены:

\Pi = (100 - 10p_1)(p_1 - 4) + (80 - 10p_2)(p_2 - 4) \rightarrow \max \quad \text{при } p_1,p_2

\Pi = 140p_1 - 10p_1^2 - 400 + 120p_2 - 10p_2^2 - 320 \rightarrow \max \quad \text{при } p_1,p_2 (2 балла за целевые функции)

Эти две неравные параболы с ветвями вниз, поэтому ищем максимум по каждой цене.

Найдём оптимальные цены p_1 = 7, p_2 = 6 (2 балла).

Оптимальные объемы продаж равны q_1 = 30, q_2 = 20 (2 балла за нахождение оптимального выпуска).

При этом \Pi^* = 7 \times 30 + 6 \times 20 - 4 \times (30 + 20) = 130 (2 балла за нахождение максимальной прибыли).

2. p = 4 и T \leq CS

(10 баллов за пункт 2)

Максимальная цена, которую готов заплатить потребитель за входной билет, равна величине его потребительского излишка. Необходимо определить величину какого потребительского излишка CS_1 или CS_2 следует использовать при назначении цены билета. (2 балла)

Если T = CS_1, то покупает только первая группа посетителей, чья величина спроса при p = 4 равна q_1 = 60 .

P_1 = CS_1 = \frac{(100 - 40)}{6} = 2 (3 балла)

Если T = CS_2 , то покупают обе группы посетителей, так как цена билета ниже.

При p = 4q_1 = 60, q_2 = 40

P_2 = 2CS_2 = 2 \left( \frac{8 - 4}{6} \right) = 160 (3 балла)

Цена билета и является прибылью фирмы. \Pi^* = 180 > 160, потому парк развлечений выгодно обслуживать только первую группу посетителей.

3. (10 баллов за пункт 3)

Здесь возможны два варианта: либо продавать билеты обеим группам населения, либо только первой.

Если обслуживать обе группы, то T = CS_2 :

\Pi = (p - 4)(180 - 20p) + 2CS_2 = (p - 4)(180 - 20p) + (8 - p)(80 - 10p) = -10p^2 + 100p - 80

Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 5 .

q_1^* = 50 \\ CS_2 = \frac{3 \times 30}{2} = 45, \text{ то есть цена билета } T = 45

\Pi^* = 80 + 45 - 2 = 170 \quad (6 баллов)

Если парк обслуживает только одну группу, то парку выгодно забрать весь потребительский излишек первой группы, а он максимален при p = 4 .

Это можно доказать:

\Pi = (p - 4)(100 - 10p) + CS_1 = (p - 4)(100 - 10p) + \frac{1}{2}(10 - p)(100 - 10p) = 40p - 5p^2 + 100

Это парабола ветвями вниз с вершиной в p = 4 .

\Pi^*_3 = CS^1 = 180 \quad (4 балла)

4. (5 баллов за пункт 4)

\Pi^*_1 < \Pi^*_2 < \Pi^*_3

Очевидно, что дополнительная плата в виде входного билета увеличивает прибыль. Возможность назначать разные цены за билеты, то есть забирать весь излишек обеих групп, увеличивает прибыль ещё больше.

Поэтому дискриминация на уровне плат за входной билет даёт наибольшую прибыль, а оба излишка максимальны, когда цена за поездку равна предельным издержкам. (5 баллов)