Задача 1 (СПбГУ 2016)
В Стране чудес на рынке производства эликсира «Выпей меня» присутствует 50 одинаковых фирм- производителей. Все фирмы должны производить эликсир, строго следуя рецептуре приготовления и разливать в одинаковые флаконы. Для каждой фирмы зависимость между издержками производства и объемом выпуска флаконов с эликсиром задана функцией TC=0,5 \cdot Q^2+4 \cdot Q+18, где TC – стоимость производства в тыс. золотых монет, Q – объем производства эликсира в тысячах штук флаконов.
Определите:
- Какой объем продукции будет предложен всеми производителями при установлении на рынке цены P=9 золотых монет за флакон?
- Каковы равновесные параметры рынка (цена и объем продаж), если спрос на продукцию задан функцией Q_D=7000/P ?
- Каков коэффициент эластичности спроса при равновесной цене?
- Какова величина прибыли или убытков отдельной фирмы при установлении равновесия?
- Какой должна быть равновесная цена рынка, чтобы каждая отдельная фирма получала нулевую экономическую прибыль?
1. TC = 0{,}5 \cdot Q^2 + 4 \cdot Q + 18; \quad MC = Q + 4; \quad Q = -4 + P; \text{ для 50 фирм} \\ Q = -200 + 50 \cdot P; \quad P = 9 \, \text{руб}; \quad Q = 250 \, \text{тыс. шт.} \\ 2. Q = -200 + 50 \cdot P - Q_D = \frac{7000}{P}; \quad 50 \cdot P^2 - 200P - 7000 = 0; \\ P^2 - 4P - 140 = 0; \quad P = 14 \, \text{руб.}; \quad Q = 500 \, \text{тыс. шт.} \\ 3. E = 1 - \frac{7000P}{P^2 + \frac{7000}{P}} = -1 \\ 4. \text{Прибыль } TR - TC = 14 \cdot 10 - (0{,}5 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10 + 18) = 32 \, \text{тыс. руб.} \\ 5. \text{Прибыль } TR - TC = 0; \quad P \cdot Q = (0{,}5Q^2 + 4 \cdot Q + 18) = 0; \text{ вместо } P \text{ подставляем выражение через объем} \\ (Q + 4) \cdot Q - (0{,}5Q^2 + 4 \cdot Q + 18) = 0; \quad Q = 6; \quad P = 10 \, \text{руб.}