Задача 5 (СПбГУ 2016)
Фирмы «Светоч», «Колор» и «Художник» производят комплекты красок и мольберты. Производственные возможности каждой из фирм характеризуются следующими данными: фирма «Светоч» может выпускать за один рабочий день максимум 24 комплектов красок или 16 мольбертов, фирма «Колор» - 20 комплектов красок или 30 мольбертов, а фирма «Художник» - 10 комплектов красок или 40 мольбертов.
Фирмы поставляют на небольшой местный рынок художественных принадлежностей все производимые ими мольберты, являясь при этом единственными продавцами на этом рынке. Функция спроса на мольберты описывается уравнением: Q_{мольбертов}=100−8 \cdot P_{мольбертов}, где Q_{мольбертов} – это объем спроса на мольберты, а P_{мольбертов} – цена мольбертов. Также известно, что на этом рынке равновесие достигается при цене 6 денежных единиц.
Для расширения своего присутствия на местном рынке художественных принадлежностей владельцы этих фирм решили продавать производимые ими краски. Изучение рынка красок показало, что там действует достаточно много других поставщиков этой продукции, а продажи аналогичных комплектов красок осуществляются по одной и той же цене. Для освоения рынка красок фирмы решили объединить свои усилия. В первый день продаж красок стало известно, что фирма «Светоч» получила предельную выручку в размере 12 денежных единиц.
Необходимо:
- Построить общую дневную границу производственных возможностей трех фирм после их объединения с указанием на соответствующих осях координатной плоскости числовых параметров, определяющих эту границу, а также дать исчерпывающие пояснения своих построений.
- Определить ежедневную суммарную выручку, получаемую каждой фирмой от продажи в этой стране производимых ею красок и мольбертов.
Выполнение задания 1.
Общая кривая производственных возможностей строится исходя из правила – каждая фирма должна производить тот товар, который она может изготавливать с наибольшей эффективностью (производительностью). Для наглядности можно свести данные в условиях задачи производственные возможности фирм в таблицу:
Из условий задачи и приведенной таблицы понятно, что фирма «Светоч» имеет преимущества в изготовлении красок (24 против 20 у «Колор» и 10 у «Художника»). Фирма «Художник» имеет
преимущества в изготовлении мольбертов (40 против 16 у «Светоч» и 30 у «Колор»). А фирма «Колор» занимает серединное положение (т.е. может заниматься производством и красок и мольбертов).
Исходя из этого, можно найти координаты точек, которые определят конфигурацию границы производственных возможностей:
Точка 1.
Все фирмы направляют все свои ресурсы на производство красок и, следовательно, не могут произвести ни одного мольберта:
Краски=54(24+20+10); Мольберты=0.
Точка 2.
Все фирмы направляют все свои ресурсы на производство мольбертов и, следовательно, не могут произвести ни одного комплекта красок:
Краски=0; Мольберты=86(16+30+40).
Точка 3.
Фирма «Светоч» производит краски (у нее преимущество в производстве красок), а фирмы «Колор» и «Художник» производят мольберты:
Стулья=24; Диваны=70(30+40).
Точка 4.
Фирма «Художник» производит мольберты (у нее преимущество в производстве мольбертов), а фирмы «Колор» и «Светоч» производят краски:
Краски=44(24+20); Мольберты=40.
Строим по точкам границу производственных возможностей:
Выполнение задания 2.
1) Находим, сколько мольбертов производят все фирмы с учетом спроса на них при цене равновесия в 6 ден.ед. Для этого подставляем в известную из условий задачи функцию спроса цену в 6 ден. ед.:
Q_{мольбертов}=100−8 \cdot 6=52 мольберта
Из эти 5252 мольбертов:
- 40 мольбертов произвела фирма «Художник» (это видно из построенного графика + она имеет преимущество в производстве мольбертов);
- тогда 12 мольбертов приходится на фирму «Колор»
- фирма «Светоч» не производит мольбертов вообще (у нее преимущество в производстве красок).
2) Находим, какое максимально возможное количество красок будет произведено и продано при произведенных фирмами 52-ух мольбертов:
- фирма «Художник» не произведет ни одного комплекта красок, т.к. она производит максимально возможное для нее количество мольбертов;
- так как фирма «Светоч» не производила мольбертов вообще, то она должна в этом случае произвести максимально возможное количество комплектов красок (воспользовавшись своим преимуществом в производстве красок), т.е. – 24 комплекта красок.
- фирма «Колор» должна произвести 12 комплектов красок, т.к. она не использовала все свои производственные мощности при производстве мольбертов. Цифра 12 получается следующим образом:
\bullet Альтернативная стоимость производства одного мольберта для фирмы «Колор» равна непроизведенному некоторому количеству комплектов красок, т.е. 20/30=2/3 комплекта красок. Это означает, что при производстве одного мольберта фирма «Колор» несет потери в виде 2/3 непроизведенного комплекта красок (или один мольберт стоит фирме 2/3 комплекта красок)
\bullet Альтернативная стоимость 12-ти произведенных фирмой «Колор» мольбертов равна: 2/3 \cdot 12=8 комплекта красок.
\bullet Из условий задачи фирма «Колор» может максимально произвести 20 комплектов красок. Значит при производстве ею 12-ти мольбертов она должна оставшиеся ресурсы направить на производство красок, которые она произведет в количестве: 20–8=12 комплектов красок.
Таким образом, вместе фирма «Светоч» и фирма «Колор» произведут и выставят на рынок: 24+12=36 комплектов красок (при этом фирма «Художник» полностью сосредоточена на производстве мольбертов в количестве = 40 шт.). На графике это обозначено точкой X с координатами (52;36).
3) Находим суммарную выручку каждой фирмы, которую они получают при реализации мольбертов и красок:
- выручка = цена товара \cdot количество проданного товара;
- из условий задачи можно сделать вывод, что на рынке красок существует совершенная конкуренция, т.к. фирмы продают их по одной и той же цене. Отсюда следует, что цена комплекта красок равна предельной выручке. А так как из условий задачи известно, что фирма «Светоч» получила предельную выручку в 12 ден. ед., то и цена комплекта красок равна 12 ден. ед. (P_{красок}=12 ден. ед.)
- Для удобства определения суммарной выручки каждой фирмы составим таблицу:
Ответ:
Суммарная выручка фирмы «Светоч» равна 288 ден.ед.; фирмы «Колор» 2216 ден.ед.; фирмы «Художник» 240 ден.ед.