а) Если x1 < x2 и p1 < p2, то товар более низкого качества купят те потребители, чей параметр w удовлетворяет неравенству wx1 − p1 > wx2 − p2, т.е. w < w, где w =(p2−p1)(x2−x1). Спрос Q1 на товар первой фирмы равен количеству (массе) тех потребителей, для которых выполняется это неравенство: Q1 = min{w, 1}.

б) Игра между фирмами состоит из трёх последовательных стадий: выбор первой

фирмой x1, выбор второй фирмой x2 и одновременный выбор фирмами p1 и p2. В соответствии с алгоритмом обратной индукции будем анализировать эту игру, начиная

с третьей стадии –– выбора p1 и 2.

Предположим сначала, что, как и в пункте а), x1 < x2. Тогда при заданной цене p2 первой фирме выгодно выбрать p1 < p2, иначе её прибыль будет равна нулю. Также

должно выполняться неравенство p2 − p1 \leq x2 − x1, иначе первая фирма захватывает

весь рынок и предлагает слишком низкую цену, которую можно было бы повысить,

не теряя контроля над всем рынком, и тем самым увеличить прибыль. Таким образом,

p2 − x2 + x1 \leq p1 < p2, и тогда прибыль первой фирмы составляет

\pi_1 = \overline{w}(p_1 - x_1) = \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}(p_1 - x_1).

Эту функцию надо максимизировать по p1 при p2 − x2 + x1 \leq p1 < p2. Это парабола

ветвями вниз, поэтому решение будет в вершине параболы p1 = (p2+x1)/2, если последняя расположена правее, чем левая граница допустимого промежутка p2−x2+x1. Получаем кривую реакции первой фирмы:

\hat{p}_1(p_2) = \max\left(\frac{p_2 + x_1}{2}, p_2 - x_2 + x_1\right).

Следуя аналогичной логике, строим кривую реакции второй фирмы: она выбирает p2

так, чтобы максимизировать свою прибыль

\pi_2 = (1 - \overline{w})(p_2 - x_2) = \left(1 - \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}\right)(p_2 - x_2).

при ограничениях p1 + x2 − x1 < p2 \leq p1. Кривая реакции второй фирмы:

\hat{p}_2(p_1) = \max \left( \frac{2x_2 + p_1 - x_1}{2}, p_1 \right).

Приведённые выше уравнения кривых реакции верны при p1 \geq x1 и p2 \geq x1, иначе

одна из фирм получила бы отрицательную прибыль, чего не может быть при рациональном поведении.

Равновесие в третьей стадии игры –– точка пересечения кривых реакции:

x_1 < x_2 \Rightarrow p_1 = \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \quad p_2 = \frac{4x_2 - x_1}{3}.

Следовательно, доли рынка, контролируемые первой и второй фирмой, будут, соответственно, Q1 =2/3 и Q2 =1/3.

Теперь следует заметить, что предположение пункт а) не обязательно выполняется в пункте б). В частности, может быть x2 < x1, и тогда равновесие третьей стадии

вычисляется по тем же формулам, с заменой местами индексов 1 и 2:

x_2 < x_1 \Rightarrow p_1 = \frac{4x_1 - x_2}{3}, \quad p_2 = \frac{x_2 + 2x_1}{3}.

Доли рынка, контролируемые первой и второй фирмой, будут, соответственно, Q1 =1/3

и Q2 =2/3. Таким образом, мы установили интересный факт: фирма с более низким

качеством всегда получит 2/3 рынка независимо от конкретных значений качеств!

Наконец, возможно и такое, что x2 = x1. В этом случае обе фирмы в равновесии

назначают цены p1 = p2 = x1 = x2, дающие им нулевую прибыль. Иначе, если бы

прибыль одной из фирм была положительной, например, p1 > x1, то другая фирма

назначила бы цену чуть меньше (p2 = p1 − \epsilon при малом \epsilon > 0) и увеличила бы свою

прибыль, получив полный контроль над рынком. Это та же ситуация, что возникает

в модели Бертрана.

Теперь будем анализировать вторую стадию игры: выбор второй фирмой x2 \in [0; 1]

при фиксированном x1 \in [0; 1]. Вторая фирма должна решить, занять нишу выше

конкурента (x2 > x1), ту же (x2 = x1) или ниже (x1 < x2). Подставим в формулу прибыли

второй фирмы вычисленные выше значения p1 и p2 для всех трёх рассмотренных

случаев:

\pi_2(x_2) = \begin{cases} \frac{1}{3}(p_2 - x_2) = \frac{1}{3}(x_2 - x_1), & \text{если } x_1 < x_2, \\ \frac{2}{3}(p_2 - x_2) = \frac{4}{3}(x_1 - x_2), & \text{если } x_2 < x_1, \\ 0, & \text{если } x_2 = x_1. \end{cases}

Эта кусочно-линейная функция имеет V-образный график зависимости от x2

, т. е. достигает максимума по x2 \in [0; 1] в одной из крайних точек отрезка [0; 1]. Подставляя x2 = 0 и x2 = 1 и сравнивая \pi 2 при этих значениях x2, получаем оптимальный выбор второй фирмой x2 в зависимости от x1:

\hat{x}_2(x_1) = \begin{cases} 1, & \text{если } x_1 < \frac{1}{5}, \\ 0, & \text{если } x_1 > \frac{1}{5}, \\ 0 \text{ или } 1, & \text{если } x_1 = \frac{1}{5}. \end{cases}

Наконец, переходим к анализу первой стадии игры –– выбора первой фирмой оптимального x1 \in [0; 1]. Подставим в формулу прибыли первой фирмы вычисленные

выше значения p1, p2 и x2:

\pi_1 = \begin{cases} \frac{2}{3}\left(\frac{x_1 + 2x_2}{3} - x_1\right) = \frac{4}{9}(1 - x_1), & \text{если } x_1 < \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{3}\left(\frac{4x_1 - x_2}{3} - x_1\right) = \frac{1}{9}(5 - x_1), & \text{если } x_1 > \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{45}, & \text{если } x_1 = \frac{1}{5}. \end{cases}

Максимум этой функции по x1 \in [0; 1] достигается при x1 = 0. Таким образом, ответ

на пункт б) такой: x1 = 0, x2 = 1, p1 =2/3, p2 =4/3.

Примечания:

В данной модели мы наблюдаем значительные «силы отталкивания» между фирмами: каково бы ни было x1, вторая фирма захочет быть в одной из дальних от x1 точек. Это происходит потому, что одинаковое качество приводит к серьезной ценовой войне по Бертрану между фирмами и сводит прибыль на нет. И наоборот, максимально разные качества позволяют сегментировать рынок и тем самым смягчить ценовую конкуренцию.
В обобщении данной модели первая фирма (лидер) не всегда будет выбирать более низкое качество. Если средние издержки равны не x, а cx, где c < \frac{\sqrt{7}-1}{2}, лидер выберет высокое качество x1 = 1, а последователь низкое качество x2 = 0.
Одновременное равновесие в ценах, предполагаемое в данной модели, можно интерпретировать как результат процесса подстройки, когда любая фирма, чья цена не оптимальна при наблюдаемых качествах и цене конкурента, меняет цену в сторону оптимальной. По ценам такая подстройка может быть достаточно быстрой. По качествам же подобный процесс подстройки затруднен, так как качество товара изменить сложнее. Поэтому выбор качеств моделируется как последовательный, а не одновременный.