Выбираем рыночную нишу
На рынке жизненно необходимых виджетов есть две фирмы, –– 1 и 2, а также очень большое число покупателей. Виджеты, выпускаемые разными фирмами, могут отличаться по качеству и цене. Полезность покупателя от покупки товара качества x по цене p задается уравнением U = w \cdot x − p, где w –– готовность данного покупателя платить за единицу качества. У разных покупателей w разная, причем параметр w распределен среди населения равномерно на отрезке [0; 1], то есть для любых w1, w2 таких, что 0 \leq w1 \leq w2 \leq 1, доля людей, чья w лежит на отрезке [w1 ; w2 ], равна w2 − w1. Например, доля людей, чья w находится на отрезке [0,4; 0,7] равна 0, 3. Из всех виджетов, предложенных на рынке, покупатель выбирает тот, полезность от покупки которого наибольшая. Если покупатель не покупает ни один из виджетов, его полезность равна минус бесконечности. Общие издержки каждой из фирм равны TC = xQ, где x –– качество товара данной фирмы, Q –– количество проданных единиц. Качество товара может быть любым числом на отрезке [0; 1]. Если качество товара уже выбрано, то его сложно изменить. Цены же можно переустаналивать свободно. Поэтому схема взаимодействия фирм выглядит следующим образом:
1. Сначала фирма 1 выбирает качество своего товара x1.
2. Фирма 2 наблюдает x1 и затем выбирает качество своего товара x2. После этого шага качества товаров изменить нельзя. Первые два шага можно интерпретировать как выбор каждой из фирм своей рыночной ниши.
3. Затем обе фирмы, зная x1 и x2, одновременно и независимо выбирают цены p1 и p2. Цены, выбираемые на данном этапе, образуют равновесие, то есть цена p1 должна быть оптимальна для фирмы 1 при фиксированных p2, x1, x2, и наоборот, цена p2 должна быть оптимальна для фирмы 2 при фиксированных p1, x1, x2.
а) (1 балл) Если p1 < p2, а x1 < x2, какая доля потребителей купит товар первой фирмы (как функция от x1, x2, p1, p2 )?
б) (11 баллов) Найдите качества товаров x1, x2 и цены p1, p2, которые выберут фирмы.
а) Если x1 < x2 и p1 < p2, то товар более низкого качества купят те потребители, чей параметр w удовлетворяет неравенству wx1 − p1 > wx2 − p2, т.е. w < w, где w =(p2−p1)(x2−x1). Спрос Q1 на товар первой фирмы равен количеству (массе) тех потребителей, для которых выполняется это неравенство: Q1 = min{w, 1}.
б) Игра между фирмами состоит из трёх последовательных стадий: выбор первой
фирмой x1, выбор второй фирмой x2 и одновременный выбор фирмами p1 и p2. В соответствии с алгоритмом обратной индукции будем анализировать эту игру, начиная
с третьей стадии –– выбора p1 и 2.
Предположим сначала, что, как и в пункте а), x1 < x2. Тогда при заданной цене p2 первой фирме выгодно выбрать p1 < p2, иначе её прибыль будет равна нулю. Также
должно выполняться неравенство p2 − p1 \leq x2 − x1, иначе первая фирма захватывает
весь рынок и предлагает слишком низкую цену, которую можно было бы повысить,
не теряя контроля над всем рынком, и тем самым увеличить прибыль. Таким образом,
p2 − x2 + x1 \leq p1 < p2, и тогда прибыль первой фирмы составляет
\pi_1 = \overline{w}(p_1 - x_1) = \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}(p_1 - x_1).
Эту функцию надо максимизировать по p1 при p2 − x2 + x1 \leq p1 < p2. Это парабола
ветвями вниз, поэтому решение будет в вершине параболы p1 = (p2+x1)/2, если последняя расположена правее, чем левая граница допустимого промежутка p2−x2+x1. Получаем кривую реакции первой фирмы:
\hat{p}_1(p_2) = \max\left(\frac{p_2 + x_1}{2}, p_2 - x_2 + x_1\right).
Следуя аналогичной логике, строим кривую реакции второй фирмы: она выбирает p2
так, чтобы максимизировать свою прибыль
\pi_2 = (1 - \overline{w})(p_2 - x_2) = \left(1 - \frac{p_2 - p_1}{x_2 - x_1}\right)(p_2 - x_2).
при ограничениях p1 + x2 − x1 < p2 \leq p1. Кривая реакции второй фирмы:
\hat{p}_2(p_1) = \max \left( \frac{2x_2 + p_1 - x_1}{2}, p_1 \right).
Приведённые выше уравнения кривых реакции верны при p1 \geq x1 и p2 \geq x1, иначе
одна из фирм получила бы отрицательную прибыль, чего не может быть при рациональном поведении.
Равновесие в третьей стадии игры –– точка пересечения кривых реакции:
x_1 < x_2 \Rightarrow p_1 = \frac{x_1 + 2x_2}{3}, \quad p_2 = \frac{4x_2 - x_1}{3}.
Следовательно, доли рынка, контролируемые первой и второй фирмой, будут, соответственно, Q1 =2/3 и Q2 =1/3.
Теперь следует заметить, что предположение пункт а) не обязательно выполняется в пункте б). В частности, может быть x2 < x1, и тогда равновесие третьей стадии
вычисляется по тем же формулам, с заменой местами индексов 1 и 2:
x_2 < x_1 \Rightarrow p_1 = \frac{4x_1 - x_2}{3}, \quad p_2 = \frac{x_2 + 2x_1}{3}.
Доли рынка, контролируемые первой и второй фирмой, будут, соответственно, Q1 =1/3
и Q2 =2/3. Таким образом, мы установили интересный факт: фирма с более низким
качеством всегда получит 2/3 рынка независимо от конкретных значений качеств!
Наконец, возможно и такое, что x2 = x1. В этом случае обе фирмы в равновесии
назначают цены p1 = p2 = x1 = x2, дающие им нулевую прибыль. Иначе, если бы
прибыль одной из фирм была положительной, например, p1 > x1, то другая фирма
назначила бы цену чуть меньше (p2 = p1 − \epsilon при малом \epsilon > 0) и увеличила бы свою
прибыль, получив полный контроль над рынком. Это та же ситуация, что возникает
в модели Бертрана.
Теперь будем анализировать вторую стадию игры: выбор второй фирмой x2 \in [0; 1]
при фиксированном x1 \in [0; 1]. Вторая фирма должна решить, занять нишу выше
конкурента (x2 > x1), ту же (x2 = x1) или ниже (x1 < x2). Подставим в формулу прибыли
второй фирмы вычисленные выше значения p1 и p2 для всех трёх рассмотренных
случаев:
\pi_2(x_2) = \begin{cases} \frac{1}{3}(p_2 - x_2) = \frac{1}{3}(x_2 - x_1), & \text{если } x_1 < x_2, \\ \frac{2}{3}(p_2 - x_2) = \frac{4}{3}(x_1 - x_2), & \text{если } x_2 < x_1, \\ 0, & \text{если } x_2 = x_1. \end{cases}
Эта кусочно-линейная функция имеет V-образный график зависимости от x2
, т. е. достигает максимума по x2 \in [0; 1] в одной из крайних точек отрезка [0; 1]. Подставляя x2 = 0 и x2 = 1 и сравнивая \pi 2 при этих значениях x2, получаем оптимальный выбор второй фирмой x2 в зависимости от x1:
\hat{x}_2(x_1) = \begin{cases} 1, & \text{если } x_1 < \frac{1}{5}, \\ 0, & \text{если } x_1 > \frac{1}{5}, \\ 0 \text{ или } 1, & \text{если } x_1 = \frac{1}{5}. \end{cases}
Наконец, переходим к анализу первой стадии игры –– выбора первой фирмой оптимального x1 \in [0; 1]. Подставим в формулу прибыли первой фирмы вычисленные
выше значения p1, p2 и x2:
\pi_1 = \begin{cases} \frac{2}{3}\left(\frac{x_1 + 2x_2}{3} - x_1\right) = \frac{4}{9}(1 - x_1), & \text{если } x_1 < \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{3}\left(\frac{4x_1 - x_2}{3} - x_1\right) = \frac{1}{9}(5 - x_1), & \text{если } x_1 > \frac{1}{5}, \\ \frac{1}{45}, & \text{если } x_1 = \frac{1}{5}. \end{cases}
Максимум этой функции по x1 \in [0; 1] достигается при x1 = 0. Таким образом, ответ
на пункт б) такой: x1 = 0, x2 = 1, p1 =2/3, p2 =4/3.
Примечания:
- В данной модели мы наблюдаем значительные «силы отталкивания» между фирмами: каково бы ни было x1, вторая фирма захочет быть в одной из дальних от x1 точек. Это происходит потому, что одинаковое качество приводит к серьезной ценовой войне по Бертрану между фирмами и сводит прибыль на нет. И наоборот, максимально разные качества позволяют сегментировать рынок и тем самым смягчить ценовую конкуренцию.
- В обобщении данной модели первая фирма (лидер) не всегда будет выбирать более низкое качество. Если средние издержки равны не x, а cx, где c < \frac{\sqrt{7}-1}{2}, лидер выберет высокое качество x1 = 1, а последователь низкое качество x2 = 0.
- Одновременное равновесие в ценах, предполагаемое в данной модели, можно интерпретировать как результат процесса подстройки, когда любая фирма, чья цена не оптимальна при наблюдаемых качествах и цене конкурента, меняет цену в сторону оптимальной. По ценам такая подстройка может быть достаточно быстрой. По качествам же подобный процесс подстройки затруднен, так как качество товара изменить сложнее. Поэтому выбор качеств моделируется как последовательный, а не одновременный.