S024
На каждом квадратном километре сельской местности равномерно распределены 1000 домохозяйств. Однажды местные власти решили установить в одной из точек местности телевизионный ретранслятор. После того как домохозяйства оплатят сооружение ретранслятора, он будет представлять собой чистое общественное благо.
Предполагаемые расходы на сооружение ретранслятора: TC=q*r^3, где q – количество телевизионных каналов, которое будет передавать ретранслятор, r – радиус охвата местности телевизионным вещанием.
Каждое домохозяйство имеет идентичную функцию спроса на услуги ретранслятора: q=100(1-P), где q – количество каналов, которое согласится оплатить домохозяйство, финансируя сооружение ретранслятора, если цена подключения одного канала будет равна P.
Каким будет количество каналов, решают местные власти. На какое количество каналов должен быть рассчитан ретранслятор, если местные власти захотят собрать с домохозяйств максимально возможную сумму на его сооружение?
Сформулируем обратную функцию спроса: P=1-0,01q. Сумма, которую заплатит одно домохозяйство за возможность приема q каналов: P_q = q – 0,01q^2.
Число домохозяйств, которое сможет принимать сигнал и согласится финансировать сооружение ретранслятора: 1000\pi r^2. Общая сумма денег, которую заплатят эти домохозяйства в зависимости от числа принимаемых каналов: 1000\pi r^2(q-0,01q^2).
Эта величина должна быть равна предполагаемым расходам на сооружение ретранслятора. То есть 1000\pi r^2(q-0,01q^2)=qr^3.
Отсюда r=1000\pi(1-0,01q).
Общая сумма денег, которую заплатят домохозяйства:
1000\pi r^2 (q - 0,01 q^2) = 1000\pi [1000\pi (1 - 0,01 q)]^2 (q - 0,01 q^2) = 1 000 000 000 \pi^3 q (1 - 0,01 q)^3.
Максимум этой суммы достигается при условии: (1 – 0,01q)^3 – 0,03q(1 – 0,01q)^2 = 0. 1 – 0,04q = 0. q = 25.
Ответ. 25 каналов.