Задача 4. МЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
В стране Ф все жители делятся на две группы: идеалисты и материалисты. Материалистов вдвое больше, чем идеалистов. Так сложилось, что все материалисты зарабатывают по 1000 долларов, а идеалисты не имеют никаких доходов и сбережений.
В стране П все более прозаично. Жители делятся на три равные по численности группы населения: беднейшие, средние и богатые. Про страну П известно 3 факта: доходы внутри групп распределены равномерно, коэффициент Джини такой же, как в стране Ф, а доля доходов беднейших в доходах страны П составляет 0,1. Найдите долю средней группы населения в доходах страны П.
Рассмотрим более общую трактовку задачи о стране Ф. У нас есть две группы, доля бедной в населении составляет x, доля в доходе — y. Докажем, что тогда коэффициент
Джини составляет G=x-y.
Коэффициент Джини по определению — это отношение площади фигуры (S_1), образованной кривой абсолютного равенства (x=y) и кривой Лоренца, к площади треугольника, образованного кривой абсолютного равенства, осью 0_x и прямой x=1 (S_2).
Таким образом, G=S_1/S_2. Но при этом площадь прямоугольного треугольника S_2 с катетами, равными единице, составляет 1/2. Тогда G=2S_1.
Теперь рассмотрим площадь S_1. Это часть треугольника с площадью 1/2. А значит, мы можем для получения площади S_1 вычесть из треугольника S_2 площадь треугольника S_3, образованного кусочком кривой Лоренца до точки (x;y), осью 0_x и прямой x=x, и вычесть площадь S_4 оставшейся трапеции. Тогда индекс Джини G=2(1/2-S_3-S_4)=1-2S_3-2S_4.
Рассчитаем S_3=1/2xy, \ S_4=1/2(y+1)(1-x)=1/2(1+y-x-xy). Тогда коэффициент Джини: G=1-xy-(1+y-x-xy)=x-y.
Идеалисты составляют 1/3 от населения страны Ф, а их доход равен 0, откуда получаем, что коэффициент Джини в стране Ф равен 1/3. [ 2 балла].
Рассмотрим страну П. Кривая Лоренца — ломаная линия с тремя участками. Найдем площадь под этой ломаной как сумму площадей треугольника и двух трапеций.
Предположим также, что x — это кумулятивная доля в доходах первых двух групп. Тогда искомая площадь составит:
S=1/10*1/3*1/2+(1/10+x)*1/2*1/3+(1+x)*1/2*1/3 \ [ 3 балла].
Зная эту площадь, мы можем вычислить коэффициент Джини, посчитав, какую площадь имеет фигура, образованная линией абсолютного равенства и кривой Лоренца, и рассчитав долю в треугольнике, образованном линией абсолютного равенства:
G = 2\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}(\frac{6}{5} + 2x)\right) = \frac{1}{3} [ 3 балла].
Решая линейное уравнение, мы получим x=0,4. \ [ 3 балла].
x — это доля в доходах первой и второй группы. Первая группа составляет 0,1, а значит, доля в доходах второй группы: 0,4-0,1=0,3