Задача 4. МЭ ПОШ – 2020 (10-11 класс)
В стране все жители делятся на две группы: идеалисты и материалисты. Материалистов вдвое больше, чем идеалистов. Так сложилось, что все материалисты зарабатывают по долларов, а идеалисты не имеют никаких доходов и сбережений.
В стране все более прозаично. Жители делятся на три равные по численности группы населения: беднейшие, средние и богатые. Про страну известно факта: доходы внутри групп распределены равномерно, коэффициент Джини такой же, как в стране , а доля доходов беднейших в доходах страны составляет . Найдите долю средней группы населения в доходах страны .
Ответ
Рассмотрим более общую трактовку задачи о стране . У нас есть две группы, доля бедной в населении составляет , доля в доходе — . Докажем, что тогда коэффициент
Джини составляет .
Коэффициент Джини по определению — это отношение площади фигуры , образованной кривой абсолютного равенства и кривой Лоренца, к площади треугольника, образованного кривой абсолютного равенства, осью и прямой .
Таким образом, . Но при этом площадь прямоугольного треугольника с катетами, равными единице, составляет . Тогда .
Теперь рассмотрим площадь . Это часть треугольника с площадью . А значит, мы можем для получения площади вычесть из треугольника площадь треугольника , образованного кусочком кривой Лоренца до точки , осью и прямой , и вычесть площадь оставшейся трапеции. Тогда индекс Джини .
Рассчитаем , . Тогда коэффициент Джини: .
Идеалисты составляют от населения страны , а их доход равен , откуда получаем, что коэффициент Джини в стране равен . [ балла].
Рассмотрим страну П. Кривая Лоренца — ломаная линия с тремя участками. Найдем площадь под этой ломаной как сумму площадей треугольника и двух трапеций.
Предположим также, что — это кумулятивная доля в доходах первых двух групп. Тогда искомая площадь составит:
$$ [ балла].
Зная эту площадь, мы можем вычислить коэффициент Джини, посчитав, какую площадь имеет фигура, образованная линией абсолютного равенства и кривой Лоренца, и рассчитав долю в треугольнике, образованном линией абсолютного равенства:
[ балла].
Решая линейное уравнение, мы получим . $$ [ балла].
— это доля в доходах первой и второй группы. Первая группа составляет , а значит, доля в доходах второй группы: