1. Запишем обратную функцию спроса: P_d=100+20\beta-Q. Теперь можем записать функцию прибыли монополиста:

\Pi = (100 + 20\beta)Q - Q^2 - (1 + \beta)Q^2 - 100 - 50\beta = -(2 + \beta)Q^2 + (100 + 20\beta)Q - 100 - 50\beta \rightarrow \max_{Q \geq 0}

Функция прибыли имеет вид параболы ветвями вниз относительно Q, поэтому максимум – в вершине.

Q^* = \frac{100 + 20\beta}{2(2 + \beta)}

Подставим найденное оптимальное количество обратно в прибыль:

\Pi = -\frac{(2 + \beta)(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)^2} + \frac{(100 + 20\beta)^2}{2(2 + \beta)} - 100 - 50\beta = \frac{(100 + 20\beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50\beta

Сравним прибыли при \beta=0 и \beta=1 :

\Pi(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4 \cdot 2} - 100 = 1250 - 100 = 1150

\Pi(\beta = 1) = \frac{120 \cdot 120}{4 \cdot 3} - 100 - 50 = 1200 - 150 = 1050

Очевидно, \Pi(\beta = 0) > \Pi(\beta = 1) \Rightarrow \beta^* = 0, \, \Pi^* = 1150, \, Q^* = \frac{100}{4} = 25

2. Аккордная субсидия просто прибавляется к прибыли, как константа. Для того, чтобы фирме было выгодно выбрать экологичное производство, должно выполняться неравенство: \Pi(\beta=0)\leq\Pi(\beta=1)+S, где S – размер субсидии.

Подставив числа из предыдущего пункта, получим: 1150 \leq 1050 + S \Rightarrow S \geq 100

3. Оптимальный выбор объёма производства в зависимости от \beta не изменится, поэтому прибыль в зависимости от \beta имеет вид:

\Pi = \frac{(100 + 20 \beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50 \beta.

Тогда совокупная функция полезности имеет вид: U = \sqrt{\beta} + \frac{(100 + 20 \beta)^2}{4(2 + \beta)} - 100 - 50 \beta

Сравним полезности при \beta=0 и \beta=1 :

U(\beta = 0) = \frac{100 \cdot 100}{4 \cdot 2} - 100 = 1150

U(\beta = 1) = 1 + \frac{120 \cdot 120}{4 \cdot 3} - 100 - 50 = 1051

Видно, что U(\beta=0)>U(\beta=1), поэтому государство выберет \beta^*=0.