a) Если выбирать только из предложенных методов, то первый (опросить по телефону 500 случайно выбранных жителей города) представляется наиболее удачным для определения средних расходов по городу. Благодаря закону больших чисел, средний результат по случайной выборке с большой вероятностью будет близок к искомому среднему результату по всему городу.

Во втором варианте (опросить 300 жителей Спального района, 150 жителей Центра и 50 жителей Частного сектора) используется смещённая выборка: доля опрошенных по каждому из районов (от числа всех опрошенных) не соответствует доле жителей, проживающих в этом районе (от числа всех жителей в городе). Например, в Частном секторе проживает \frac{2}{(100 + 10 + 2)} \approx 1,7\% от всех жителей города, но среди опрошенных их будет 50/(300+150+50)=10\% (от всех опрошенных). Если в разных районах расходы на пирожные существенно различаются (а этого разумно ожидать, поскольку в указанных районах скорее всего живут люди с разным социально-экономическим статусом), это приведёт к тому, что среднее по такой выборке не будет равняться среднему по всему городу. Например, если предположить, что в Центре расходы на пирожные на одного человека в среднем составляют 5 тыс. рублей в месяц, в Спальном районе 2 тыс. рублей в месяц и в Частном секторе 10 тыс. рублей в месяц, то средние расходы по городу составят

5 \cdot \frac{10000}{112000} + 2 \cdot \frac{100000}{112000} + 10 \cdot \frac{2000}{112000} \approx 2{,}41 тыс. руб./мес.,

а средние расходы по нашей выборке:

5 \cdot \frac{300}{500} + 2 \cdot \frac{150}{500} + 10 \cdot \frac{50}{500} = 4{,}6 руб./мес.

Такое расхождение в результатах свидетельствует о некачественности опроса при использовании второго метода. В силу того, что качество является первым приоритетом, мы не можем использовать этот метод.

Наконец, в третьем варианте (отправить студентов в 10 самых населённых домов) выборка также будет смещена: 10 самых населённых домов скорее всего находятся в Спальном районе (именно там находятся многоэтажки) и результат вообще не будет учитывать потребление пирожных в других районах (которое может существенно отличаться от потребления в Спальном районе). Таким образом, этот метод также нельзя рекомендовать.

Если выйти за рамки предложенных методов, то можно предложить модификацию второго: либо скорректировать квоту по каждому району так, чтобы она соответствовала доле жителей этого района во всём городе (то есть опросить 446 человек из Спального района, 45 человек из Центра и 9 человек из Частного сектора), либо использовать исходную выборку, но скорректировать результат, посчитав отдельно средние по каждому из районов, а затем сложив их с весами, равными доле населения соответствующего района во всём городе: то есть результат по Спальному району умножить на 100/112\approx0,89, результат по Частному сектору умножить на 2/112\approx 0,02 и результат по Центру умножить на 10/112\approx 0,09, и всё сложить. Такой подход может дать даже лучший результат (имеющий меньшую дисперсию, то есть менее зависящий от случайности), чем первый из предложенных методов, при условии, что в разных районах расходы на пирожные различаются сильно.

Ответ: первый метод (или модифицированный второй).

б) Если нас интересует среднее по каждому из районов, то оптимальным является второй подход. Как обсуждалось выше, третий подход скорее всего даст информацию только по одному району и поэтому заведомо не подходит. Первый подход в этом случае не оптимален: он больше подвержен случайности — например, может так случиться, что в результате случайного выбора наберётся совсем мало респондентов из Частно сектора и в этом случае данные по этому району будут очень ненадежны (вдруг нам случайно попадётся один человек и он окажется большим сладкоежкой?).

Ответ: второй метод.

Ответ:

1) Первый метод

2) Второй метод