Интуитивно кажется, что если монопсонист диктует свои условия профсоюзу, это явно хуже, чем в обратной ситуации. Попробуем рассмотреть эту ситуацию в общем виде:

1. По обратной индукции он вычисляет реакцию профсоюза.

Максимизируем его прибыль: xwL - TC_L \to \max L

Берём производную и приравниваем к нулю (подумайте, почему это максимум) и получаем:

w=\frac{MC_L}{x} зависит от L, если TC_L не линейны (предельные издержки не постоянны)

Монопсонист в свою очередь максимизирует функцию

Pr=TR_L-wL=TR_L-wL*L

Pr'L=MRP_L-w'L*L-wL=0 (снова подумайте, почему это максимум)

MRP_L-w'L*L=wL на таком уровне будет установлена зарплата при определенном L.

2. Если первым ходит профсоюз, он просчитывает действия монополиста, для которого

ставка оплаты труда заданная, и получает:

Pr = TR_L - w \times L \to \max L

Pr'L=MRP_L-w=0 (производная убывает по труду, поэтому максимум)

Целевая функция профсоюза принимает вид x \times MRP_L \times L - TC_L \to \max L

Прибыль профсоюза положительно зависит от w, поэтому в новой ситуации он как минимум может выбрать то же число рабочих L, что установилось при монополии и получить большую прибыль, то есть окажется в более выигрышном положении, получив большую прибыль.

Иначе говоря, если первым ходил монопсонист, профсоюз терял бы w'L*L и не мог выбирать L, так что при получении власти даже при том же L профсоюз уже в лучшем положении.

Ценный вывод состоит в том, что выигрывает тот, кто ходит первым в такой олигополии.

Получается, прибыль при предоставлении власти профсоюзу будет больше всегда, если она не нулевая. Найдем такие значения x :

Просчитаем действия монопсониста:

Pr= (125 - w) \times L - 5L^2 - L^3 \to \max L

Pr'_L= (125 - w) - 10L - 3L^2 = 0 (производная убывает по L, поэтому имеем максимум) 125 - 10L - 3L^2 = w

Профсоюз максимизирует собственную прибыль:

Pr = x(125L - 10L^2 - 3L^3) - 25L - 40L^2 \to \max L

Уже наученные горьким опытом задачи номер 2 мы знаем, что для положительности максимума не обязательно его искать и проверять. Можно проверить наличие положительного решения: x(125-10L-3L^2)-25-40L>0 необходимо существование решения, поэтому проверим, существует ли оно в максимуме (если нет, то и в остальных точках тоже). При положительных значениях x функция монотонно убывает, поэтому максимум в нуле.

125x>25\to x>0,2

Получается, при x\in(0,2;1) прибыль будет больше.

Ответ: x\in(0,2;1).