Для более краткого решения задачи полезно сделать следующее наблюдение. Чтобы доказать, что лидер выберет некую точку x*₁, нам необязательно находить наилучший ответ последователя x*₂(x₁) для любого действия лидера x₁ ; достаточно найти лишь какое-то действие последователя \hat{x_2}, что лидеру хуже при x_1 = \hat{x_1}, x_2 = \hat{x_2}, чем при x_1 = x*_1, x_2 = x*_2 (x_1). Все дело в том, что данная игра является игрой с фиксированной суммой (сумма рыночных долей фирм всегда равна 1), и поэтому чем лучше последователю, тем хуже лидеру. Если уже при каком-то возможном ответе последователя \hat{x_2} на действие \hat{x_1} лидеру невыгодно отклоняться от точки x*_1 в точку \hat{x_1}, то при наилучшем для последователя ответе x*_2 ( \hat{x_1} ) лидеру тем более нет смысла отклоняться, потому что ему будет еще хуже, ведь последователю будет лучше.

а) Лидер встанет на отрезке АB на расстоянии 1 от точки B (назовем эту точку x₁ ). При таком расположении как справа, так и слева от лидера будет одинаковая суммарная длина отрезков (по (3+9+8+2)/2 = 11). Заметим, что тогда рыночная доля лидера будет 1/2, ведь своим оптимальным ответом последователь встанет впритык к лидеру слева или справа, и ровно половина потребителей пойдет в каждый из магазинов.

Теперь докажем, что при любом другом расположении лидер получит меньшую долю потребителей. Если он встанет в любую другую точку, то последователь, встав в точку x₁, получит рыночную долю больше 1/2 (получит всех потребителей на «своем» фланге, и еще некоторых между ним и лидером), а значит, лидер получит меньше 1/2 (а при оптимальном действии последователя лидер получит еще меньше, см. общее рассуждение перед решением). Поэтому лидер не отклонится от точки x₁.

Ответ: лидер встанет в точку, находящуюся AB на расстоянии 1 от точки B.

б) Идея решения основана на следующем наблюдении. От точки B отходит три «отростка» (BC, BD и BA-FE). Если на одном из них находится точка, с обеих сторон от которой находится ровно по половине всех покупателей, то в нее и встанет лидер (по аналогии с пунктом а)). Если же ни на одном из них нет такой точки (что происходит, если нет отростка, который длиннее, чем сумма двух других), то естественным кандидатом на позицию лидера является сама точка B («перекресток»). Рассуждения ниже показывают, что эта интуиция верна.

При этом оказывается, что в силу того, что длины сторон треугольника AFE малы, он не играет специальной роли в анализе (достаточно учитывать сумму длин его сторон). В частности, точка А никогда не играет той же роли, что и точка B.

Общая длина всех отрезков равна 3+x+8+2 = 13+x. Половина рынка соответствует длине (13 + x)/2. Точка, слева и справа от которой по половине потребителей:

никогда не находится на BD, потому что (13 + x)/2 > 2;
находится на BC при (13 + x)/2 < 8, то есть при x < 3;
находится на AB при 3 < (13 + x)/2 < 3 + x, то есть x > 7.

Поэтому имеет смысл рассмотреть три случая: 1) x < 3; 2) 3 \leq x \leq 7; 3) x > 7.

1. x < 3. На отрезке BC находится точка, слева и справа от которой по половине потребителей. Это точка y₁, находящаяся на BC на расстоянии (3 − x)/2 от точки B. Докажем, что лидер встанет именно в эту точку. Если он встанет в нее, последователь встанет впритык справа или слева от лидера, и лидер получит половину потребителей. Если же лидер встанет в любую другую точку, то последователь, встав в y₁, получит строго больше половины потребителей (логика та же, что в a)), а значит, лидер получит меньше половины. Поэтому лидер не будет отклоняться от y₁. В итоге доля лидера будет равна 1/2.

2. 3 \leq x \leq 7. Докажем, что лидер встанет ровно в точку B (на «перекрестке»). Действительно, если он встанет в точку B, то в сторону точки С от него будет длина 8 потребителей, в сторону точки D от него будет длина 2 потребителей, в сторону точки A от него будет длина x + 3 потребителей (включая треугольник AFE). Оптимальный ответ последователя зависит от x:

- при x + 3 < 8, то есть x < 5, последователь встанет впритык к лидеру на отрезке BC, потому что там потребителей больше всего. Значит, лидер, встав в B, получит общую длину 2 + 3 + x = 5 + x (и долю (5 + x)/(13 + x)).

- при x + 3 > 8, то есть x > 5, последователь встанет впритык к лидеру на отрезке AB, потому что там потребителей больше всего. Значит, лидер, встав в B, получит общую длину 2 + 8 = 10 (и долю 10/(13 + x)).

- при x = 5 последователь может выбрать любой из двух вариантов выше, они для него равнозначны, и лидеру тоже безразлично, куда именно встанет последователь. Докажем, что лидеру невыгодно отклоняться от точки B.

- При x < 5 самый длинный отросток –– BC, и и достаточно доказать, что не выгодно отклоняться на него (отклонения на более короткие отростки только хуже). Если лидер отклонится на BC, то если последователь сам встанет в точку B, то лидер получит длину меньше 8, а до отклонения он получал 5 + x \geq 8, значит, отклоняться невыгодно.

- Аналогично, при x > 5 самый длинный отросток –– BA-FE, достаточно доказать, что не выгодно отклоняться на него (отклонения на более короткие отростки только хуже). Если лидер отклонится на BA-FE, то если последователь сам встанет в точку B, то лидер получит длину меньше 3+x, а до отклонения он получал 10 \geq 3 + x, значит, отклоняться невыгодно.

- при x = 5 оба этих аргумента работают.

3. x > 7. На отрезке AB находится точка, слева и справа от которой по половине потребителей. Это точка z₁, находящаяся на AB на расстоянии (x − 7)/2 от точки B. Докажем, что лидер встанет именно в эту точку. Если он встанет в нее, последователь встанет впритык справа или слева от лидера, и лидер получит половину потребителей. Если же лидер встанет в любую другую точку, то последователь, встав в z₁, получит строго больше половины потребителей (логика та же, что в a)), а значит, лидер получит меньше половины. Поэтому лидер не будет отклоняться от z₁. В итоге доля лидера снова будет равна 1/2. Подытоживая, получаем, что доля лидера как функция от x будет иметь вид

s_1(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & x < 3; \\ \frac{5 + x}{13 + x}, & 3 \leq x < 5; \\ \frac{13 + x}{10}, & 5 \leq x < 7; \\ \frac{1}{2}, & x \geq 7. \end{cases}

Легко видеть, что эта функция максимальна при x = 5, потому что функция (5 + x)/(13 + x) = 1 − 8/(13 + x) возрастает, а функция 10/(13 + x) убывает.

Ответ: «Лидер» разместит свой магазин:

на отрезке BC на расстоянии (3 − x)/2 от точки B при x < 3;
в точке B при 3 \leq x \leq 7;
на отрезке AB на расстоянии (x − 7)/2 от точки B при x > 7. Рыночная доля лидера дана в уравнении (4.1). Она максимальна при x = 5