1) В задаче необходимо понять, в чем особенность точек с эластичностями \pm 1.

Рассмотрим точку с E=-1

По формуле эластичности получаем:

E = \left( \frac{Pr(Q)}{Q} \right)' \cdot \frac{Q}{\frac{Pr(Q)}{Q}} = -1

Преобразуем уравнение:

\frac{Pr(Q)' \cdot Q - Q' \cdot Pr(Q)}{Q^2} \cdot \frac{Q^2}{Pr(Q)} = -1

Количество Q не равно 0, поэтому можно сократить на Q^2. Получаем:

\text{Pr}(Q)' \cdot Q - \text{Pr}(Q) = -\text{Pr}(Q)

\text{Pr}(Q)' \cdot Q = 0

\text{Pr}(Q)' = 0

Следовательно, в точке E=-1 производная прибыли равна 0. Для данного графика количество, при котором производная прибыли равна 0, соответствует оптимальному объему производства.

Значит, в точке с E=-1 прибыль максимальна.

2) Рассмотрим точку с E=1

По формуле эластичности получаем:

E = \left(\frac{Pr(Q)}{Q}\right)' \cdot \frac{Q}{\frac{Pr(Q)}{Q}} = 1

Преобразуем уравнение:

\left( \frac{Pr(Q)}{Q} \right)' = \frac{Pr(Q)}{Q^2}

Значит, в точке с E=1 производная средней прибыли равна средней средней прибыли, где средняя средняя прибыль - \left( \frac{Pr(Q)}{Q} /Q\right)

Найдём эту точку на графике.

Проведем через точку (0;0) касательную к графику средней прибыли. A -точка касания. Заметим, что тангенс угла наклона касательной соответствует значению производной средней прибыли при данном количестве. Также тангенс угла наклона касательной соответствует средней средней прибыли. Значит, в точке A достигается равенство производной и средней средней прибыли. Значит, в данной точке эластичность равна 1.

3) Построение.

Существует несколько путей построения. Приведу самый простой.

Из точки A опустим перпендикуляр на ось Q, получим точку B.

Отложим отрезок BC на оси Q так, что BC=2OB

Соединим A и C отрезком. Тогда тангенс угла наклона отрезка к оси Q в два раза меньше, чем тангенс угла наклона касательной к точке с E=1. Значит, мы получили прямую, параллельную той, которая касается графика в точке с E=-1.

Тогда начнем передвигать отрезок параллельной вверх, пока он не станет лежать на касательной к графику средней прибыли. Получим точку D, в которой эластичность равна -1. Значит, в точке D прибыль максимальна.

Чтобы найти оптимальный объём производства опустим из точки D перпендикуляр на ось Q.

Примечание:

Существует более быстрый способ построения, в котором не надо строить параллельные прямые.