Хитрая эластичность

1. В задаче необходимо понять, в чем особенность точек с эластичностями 

Рассмотрим точку с 

По формуле эластичности получаем:

Преобразуем уравнение:

Количество  не равно , поэтому можно сократить на . Получаем:

Следовательно, в точке  производная прибыли равна . Для данного графика количество, при котором производная прибыли равна , соответствует оптимальному объему производства.

Значит, в точке с   прибыль максимальна.

1. Рассмотрим точку с 

По формуле эластичности получаем:

Преобразуем уравнение:

Значит, в точке с  производная средней прибыли равна средней средней прибыли, где средняя средняя прибыль -

Найдём эту точку на графике.

Проведем через точку  касательную к графику средней прибыли. -точка касания. Заметим, что тангенс угла наклона касательной соответствует значению производной средней прибыли при данном количестве. Также тангенс угла наклона касательной соответствует средней средней прибыли. Значит, в точке достигается равенство производной и средней средней прибыли. Значит, в данной точке эластичность равна .

1. Построение.

Существует несколько путей построения. Приведу самый простой.

Из точки опустим перпендикуляр на ось , получим точку .

Отложим отрезок  на оси  так, что 

Соединим и отрезком. Тогда тангенс угла наклона отрезка к оси  в два раза меньше, чем тангенс угла наклона касательной к точке с . Значит, мы получили прямую, параллельную той, которая касается графика в точке с .

Тогда начнем передвигать отрезок параллельной вверх, пока он не станет лежать на касательной к графику средней прибыли. Получим точку , в которой эластичность равна . Значит, в точке   прибыль максимальна.

Чтобы найти оптимальный объём производства опустим из точки   перпендикуляр на ось .

Примечание:

Существует более быстрый способ построения, в котором не надо строить параллельные прямые.