Хитрая эластичность
Дан график средней прибыли.
Интересный факт: модуль тангенса угла наклона касательной к точке с эластичностью равной 1 в 2 раза больше, чем модуль тангенса угла наклона касательной к точке с эластичностью равной -1.
(Рассматривается эластичность средней прибыли по количеству)
Найдите оптимальный объём производства.
1) В задаче необходимо понять, в чем особенность точек с эластичностями \pm 1.
Рассмотрим точку с E=-1
По формуле эластичности получаем:
E = \left( \frac{Pr(Q)}{Q} \right)' \cdot \frac{Q}{\frac{Pr(Q)}{Q}} = -1
Преобразуем уравнение:
\frac{Pr(Q)' \cdot Q - Q' \cdot Pr(Q)}{Q^2} \cdot \frac{Q^2}{Pr(Q)} = -1
Количество Q не равно 0, поэтому можно сократить на Q^2. Получаем:
\text{Pr}(Q)' \cdot Q - \text{Pr}(Q) = -\text{Pr}(Q)
\text{Pr}(Q)' \cdot Q = 0
\text{Pr}(Q)' = 0
Следовательно, в точке E=-1 производная прибыли равна 0. Для данного графика количество, при котором производная прибыли равна 0, соответствует оптимальному объему производства.
Значит, в точке с E=-1 прибыль максимальна.
2) Рассмотрим точку с E=1
По формуле эластичности получаем:
E = \left(\frac{Pr(Q)}{Q}\right)' \cdot \frac{Q}{\frac{Pr(Q)}{Q}} = 1
Преобразуем уравнение:
\left( \frac{Pr(Q)}{Q} \right)' = \frac{Pr(Q)}{Q^2}
Значит, в точке с E=1 производная средней прибыли равна средней средней прибыли, где средняя средняя прибыль - \left( \frac{Pr(Q)}{Q} /Q\right)
Найдём эту точку на графике.
Проведем через точку (0;0) касательную к графику средней прибыли. A -точка касания. Заметим, что тангенс угла наклона касательной соответствует значению производной средней прибыли при данном количестве. Также тангенс угла наклона касательной соответствует средней средней прибыли. Значит, в точке A достигается равенство производной и средней средней прибыли. Значит, в данной точке эластичность равна 1.
3) Построение.
Существует несколько путей построения. Приведу самый простой.
Из точки A опустим перпендикуляр на ось Q, получим точку B.
Отложим отрезок BC на оси Q так, что BC=2OB
Соединим A и C отрезком. Тогда тангенс угла наклона отрезка к оси Q в два раза меньше, чем тангенс угла наклона касательной к точке с E=1. Значит, мы получили прямую, параллельную той, которая касается графика в точке с E=-1.
Тогда начнем передвигать отрезок параллельной вверх, пока он не станет лежать на касательной к графику средней прибыли. Получим точку D, в которой эластичность равна -1. Значит, в точке D прибыль максимальна.
Чтобы найти оптимальный объём производства опустим из точки D перпендикуляр на ось Q.
Примечание:
Существует более быстрый способ построения, в котором не надо строить параллельные прямые.