а) Рассмотрим монополиста, который думает, что он является совершенным конкурентом. Найдём его функцию предложения. Такой монополист будет решать задачу:

\pi(q) = pq - \frac{q^2}{4} \longrightarrow \max_{q \geq 0}

Графиком функции \pi(q) является парабола с ветвями вниз, вершина находится в точке q=2p. Таким образом, q_s(p)=2p — это предложение фирмы (воспринимающей цену как заданную), которое будет являться одновременно и рыночным предложением, так как на рынке присутствует одна фирма. Функция предложения в условиях конкуренции имеет вид q_s(p)=2p, спрос равен q_d(p)=30-p. Приравняв спрос и предложение, получим p_c=10, q_c=20. Отметим, что из всех цен, при которых монополист не попадает под штраф, оптимальной может быть лишь конкурентная цена p_c=20. При этой цене монополист производит q_c=20 и получает прибыль \pi=10*20-0,25*20^2=200-100=100. Когда назначается цена выше конкурентной, прибыль монополиста и его задачу можно записать так:

\pi(p) = pq_d(p) - TC(q_d(p)) - t(p - p_c) \longrightarrow \max_{p \geq p_c}

\pi(p) = p(30 - p) - \frac{(30 - p)^2}{4} - t(p - 10) = 30p - p^2 - \frac{900 - 60p + p^2}{4} - tp + 10t = 30p - p^2 - 225 + 15p - \frac{p^2}{4} - tp + 10t = (45 - t)p - \frac{5}{4}p^2 - 225 + 10t \longrightarrow \max_{p \geq 10}

Графиком функции \pi(p) является парабола с ветвями вниз, ее вершина расположена в точке

p = 18 - \frac{2}{5}t.

При некоторых t монополист будет работать на неэластичном участке спроса, ничего удивительного нет. Область определения p\geq p_c, поэтому найденная оптимальная цена должна быть не ниже конкурентной:

p = 18 - \frac{2}{5}t \geq p_c = 10 \iff 18 - \frac{2}{5}t \geq 10 \iff \frac{2}{5}t \leq 18 - 10 = 8 \iff t \leq 8 \cdot \frac{5}{2} = 20

Таким образом, найденная оптимальная цена будет назначаться только когда t\leq 20, а когда t\geq 20, будет назначаться конкурентная цена pcpc. Чтобы монополист выбрал такие же цену/количество, какие сложились бы в условиях конкуренции, нужно установить любое t\geq 20.

б) Превышение монопольной цены над конкурентной будет равно

p - p_c = 18 - \frac{2}{5}t - 10 = 8 - \frac{2}{5}t

Собранная сумма штрафа составит

T(t) = t(p - p_c) = t\left(8 - \frac{2}{5}t\right) = 8t - \frac{2}{5}t^2 \rightarrow \max_{t \geq 0}

Графиком функции T(t) является парабола с ветвями вниз, поэтому оптимальный штраф находится в вершине параболы и равен t=10.