Функция издержек на втором заводе имеет вид TC_2=50Q_2. Общие издержки равны:

TC = \begin{cases} 50Q_2 + 8Q_1^2, & Q_1 \leq 4 \\ 50Q_2 + 4Q_1^2 + 64, & Q_1 > 4 \end{cases}

Отдельно прооптимизируем каждый участок, то есть найдём оптимальное распределение между первым и вторым заводом при условии Q_1+Q_2=Q, а затем при каждом значении Q выберем подходящий участок. Начнём с первого участка:

TC_{\leq 4} = 50Q - 50Q_1 + 8Q_1^2 \to \min_{Q_1 = Q - Q_2 \leq 4}

Это парабола ветвями вверх, минимум в вершине: Q_1=50/16=3,125<4. Но если Q<3,125, то берём граничную точку — Q_1=Q, так как при движении к вершине значение функции уменьшается. Выходит:

TC_{\leq 4} = \begin{cases} 8Q^2, & Q \leq 3.125 \\ 3.125^2 \cdot 8 - 50 \cdot 3.125 + 50Q = 50Q - 78.125, & Q > 3.125 \end{cases}

Второй участок:

TC_{> 4} = 50Q - 50Q_1 + 4Q_1^2 + 64 \to \min_{Q_1 = Q - Q_2 > 4}

Это парабола ветвями вверх, максимум в вершине: Q_1=50/8=6,25>4. Если 4<Q<6,25, то Q_1=Q. Выходит:

TC_{> 4} = \begin{cases} 4Q^2 + 64, & Q \in (4, 6.25] \\ 50Q - 50 \cdot 6.25 - 4 \cdot 6.25^2 + 64 = -92.25 + 50Q, & Q > 6.25 \end{cases}

Теперь при каждом значении Q выберем оптимальный участок. При Q\leq 4 есть только

по одному кандидату (TC\leq 4). При Q>4 давайте сравним второй участок TC\leq 4 первый участок TC>4. Если окажется так, что при каком-то подходящем значении первый участок становится выгоднее второго участка TC\leq 4, то решение окончено, ведь для значений более 6,25 TC>4 явно выгоднее:

4Q^2 + 64 < 50Q - 78.125

4Q^2 - 50Q + 142.125 < 0

Получаем корни Q = \frac{50 + \sqrt{226}}{8} \approx 4.37, \quad 8.13 (обычно на олимпиадах не допускается округление). Выходит, что для 4<Q<4,37 выгодно использовать TC\leq 4, а при Q\geq 4,37 выгоднее использовать TC>4. Запишем итоговый ответ:

TC = \begin{cases} 8Q^2, & Q \leq 3.125 \\ 50Q - 78.125, & 3.125 < Q < 4.37 \\ 4Q^2 + 64, & 4.37 \leq Q \leq 6.25 \\ 50Q - 92.25, & Q > 6.25 \end{cases}

Допускаются нестрогие знаки на обоих пересекающихся участках.