S049
На планете Плюк каким-то образом сосуществуют две категории населения – господствующее большинство – чатлане и дискриминируемое меньшинство – пацаки. Доход самого бедного чатланина равен доходу самого богатого пацака. Средний доход чатлан в 21 раз превышает средний доход пацаков. Уравнение кривой Лоренца на этой планете имеет вид: Y=X^3, где Y – доля дохода, X – доля получателей дохода (0\leq Y\leq 1; 0\leq X\leq 1).
Определите, сколько процентов населения планеты составляют чатлане и сколько процентов – пацаки.
Пусть t – доля пацаков в общей численности населения (0\leq t\leq 1). Поскольку нет ни одного пацака, который был бы богаче хотя бы какого-нибудь чатланина, то доля пацаков в численности населения может быть отмечена точкой t на оси OX. Доля дохода всех пацаков, очевидно, будет равна t^3. В этом случае доля чатлан в общей численности населения равна 1-t, а их доля в общем доходе составляет 1-t^3.
Соотношение средних доходов чатлан и пацаков можно выразить следующим образом:
\frac{1 - t^3}{1 - t} = 21 \frac{t^3}{t};\quad \frac{1 - t + t - t^2 + t^2 - t^3}{1 - t} = 21 t^2;\quad \frac{(1 - t) + t(1 - t) + t^2(1 - t)}{1 - t} = 21 t^2. \quad 1 + t + t^2 = 21 t^2. \quad 20 t^2 – t – 1 = 0.
Единственное решение уравнения, имеющее смысл: t=0,25.
Ответ: чатлане – 75\%, пацаки – 25\%.