S047
В одной стране кривая Лаффера для налога на прибыль корпораций представляет собой участок окружности. Однажды парламентарии решили увеличить ставку налога на прибыль в 5 раз. Министр финансов попытался объяснить им, что не стоит этого делать, так как максимальный прирост доходов бюджета – в 2 раза − возможен лишь при увеличении ставки налога по сравнению с существующей в 4 раза. Однако парламентарии не послушали его и после продолжительных дебатов увеличили ставку налога даже не в пять, а в 6 раз.
На сколько процентов выросли доходы бюджета после такого решения парламентариев?
Пусть t – ставка налога, T – общая сумма поступлений в бюджет (т.е. t и T – переменные, образующие кривую Лаффера), n – существующий объем поступлений в бюджет, t_0 – существующая ставка налога. Очевидно, при t=0\quad T=0 ; при t=t_0\quad T=n ; при t=4t_0\quad T=2n. Исходя из этого, построим график кривой. Величина x нам пока неизвестна.
Исходя из принятых нами обозначений, уравнение окружности можно записать следующим образом: (T + x) ^2 + (t – 4 t_0) ^2 = R ^2.
Поскольку при t=0\quad T=0, верно равенство х^2 + 16 t_0^2 = R^2.
При t=t_0\quad T=n, поэтому (n + x)^2 + 9 t_0^2 = R^2 = х^2 + 16 t_0^2. Преобразуя, получим: 7t_0^2 – n^2 − 2nx = 0 \quad (1).
При t=4t_0\quad T=2n, следовательно, (2n + x)^2 + (4 t_0 – 4 t_0)^2 = R_2 = х^2 + 16 t_0^2. 4 n ^2 + 4 nx + x^2 = х^2 + 16 t_0^2.\quad nx = 4 t_0^2 – n^2.
Подставим это значение nx в уравнение (1). Получим равенство n=t_0. Тогда nx=4n^2-n^2. \quad x = 3 n = 3 t_0. \quad R^2 = 9 t_0^2 + 16 t_0^2 = 25 t_0^2.
Уравнение окружности приобретает следующий вид: (T + 3 t_0)^2 + (t – 4 t_0)^2 = 25 t_0^2.
Определим объем поступлений в бюджет при установленной парламентариями ставке налога t=6t_0 : (T + 3 t_0)^2 + (6 t_0 – 4 t_0)^2 = 25 t_0^2.\quad T^2 + 6 t_0T − 12 t_0^2 = 0.
Решая уравнение, получим: T = 1,58 t_0 = 1,58 n. Это означает, что доходы бюджета по сравнению с первоначальным уровнем вырастут лишь на 58\%.
Ответ: на 58\%.